rpd000001855 (1012706), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

1). Выбираем максимальный по модулю внедиагональный элемент матрицы , т.е. находим , такой что = . Им является элемент .

2). Находим соответствующую этому элементу матрицу вращения:

.

3). Вычисляем матрицу :

.

В полученной матрице с точностью до ошибок округления элемент .

, следовательно итерационный процесс необходимо продолжить.

Переходим к следующей итерации :

.

.

Переходим к следующей итерации

.

Таким образом в качестве искомых собственных значений могут быть приняты диагональные элементы матрицы :

Собственные векторы определяются из произведения

; .

Полученные собственные векторы ортогональны в пределах заданной точности, т.е.

Пример 2.

Вычислить спектральный радиус матрицы с точностью .

В качестве начального приближения собственного вектора возьмем .

Реализуем итерационный процесс (1.26, лекции), полагая .

, ;

, ;

;

, ;

;

, ;

.

Таким образом, полученное на 4-ой итерации значение =6,9559 удовлетворяет заданной точности и может быть взято в качестве приближенного значения . Искомое значение спектрального радиуса = 6,9559.

Practice3.doc

Практическое занятие 3. Итерационные методы решения СЛАУ (2 ч, СРС – 1 ч, тема 1, лекция 3).

Пример 1. Методом простых итераций с точностью решить СЛАУ.

Р е ш е н и е.

Приведем СЛАУ к эквивалентному виду:

или

где ; ;

, следовательно достаточное условие сходимости метода простых итераций выполнено.

Итерационный процесс выглядит следующим образом.

; ; ;

;

;

; .

Таким образом, вычислительный процесс завершен за 4 итерации. Отметим, что точное решение исходной СЛАУ в данном случае известно . Отсюда следует, что заданной точности удовлетворяло решение, полученное уже на третьей итерации. Но в силу использования для вычисления погрешности оценочного выражения (1.20) (видно, что в данном случае , при этом , хотя ) процесс останавливается только на четвертой итерации.

Отметим также, что априорная оценка необходимого количества итераций в данной задаче дает: , т.е. для достижения точности , согласно априорной оценке, необходимо сделать не менее пяти итераций, что иллюстрирует характерную для априорной оценки тенденцию к завышению числа итераций.

Пример 2. Методом Зейделя решить СЛАУ из примера 1.

Р е ш е н и е.

Приведение СЛАУ к эквивалентному виду аналогично примеру (1.5). Диагональное преобладание элементов исходной матрицы СЛАУ гарантирует сходимость метода Зейделя.

Итерационный процесс выглядит следующим образом:

Таким образом, уже на второй итерации погрешность , т.е. метод Зейделя в данном случае сходится быстрее метода простых итераций.

Practice5.doc

Практическое занятие 5. Решение нелинейных уравнений (2 ч, СРС – 1 ч, тема 2, лекция 5).

Пример 1.

Решить уравнение

с точностью .

Решение.

Для локализации корней применим графический способ. Преобразуем исходное уравнение к следующему эквивалентному виду:

Построив графики функций и , определяем, что у решаемого уравнения имеется только один корень, который находится в интервале .

Метод половинного деления. В качестве исходного отрезка выберем [0.4, 0.6]. Результаты дальнейших вычислений, согласно приведенному выше алгоритму содержатся в таблице.

Метод Ньютона. Для корректного использования данного метода необходимо, в соответствии с теоремой 2.2 (лекции), определить поведение первой и второй производной функции на интервале уточнения корня и правильно выбрать начальное приближение .

Для функции имеем:

, - положительные во всей области определения функции. В качестве начального приближения можно выбрать правую границу интервала , для которой выполняется неравенство (2.3, лекции):

Дальнейшие вычисления проводятся по формуле , где , .

Итерации завершаются при выполнении условия .

Результаты вычислений содержатся в таблице.

Метод секущих. В качестве начальных точек зададим: и .

Дальнейшие вычисления проводятся по формуле ,

где .

Итерации завершаются при выполнении условия .

Результаты вычислений содержатся в таблице.

Метод простой итерации. Исходное уравнение можно записать в виде

или

Из двух этих вариантов приемлемым является второй, так как, взяв за основной интервал (0.4,0.55) и положив , будем иметь:

1)

2) . Отсюда, на интервале (0.4,0.55) .

Условия теоремы 2.3 (лекции) выполнены.

В качестве начального приближения положим .

Вычисляем последовательные приближения с одним запасным знаком по формуле , где .

Достижение требуемой точности контролируется условием .

Результаты вычислений приведены в таблице

Practice7.doc

Практическое занятие 7. Полиномиальная интерполяция (2 ч, СРС – 1 ч, тема 3, лекция 7).

Пример 1.

Используя таблицу значений функции - , вычисленную в точках построить многочлен Лагранжа, проходящий через точки .

Вычислить значение погрешности интерполяции в точке .

, ;

Решение.

Функция задана в четырех точках, следовательно, искомым является многочлен Лагранжа третьей степени

, ,

Заполним таблицу:

0	0.1	-2.30259	-0.384	5.99632	0.7
1	0.5	-0.69315	0.128	-5.41521	0.3
2	0.9	-0.10536	-0.128	0.82313	-0.1
3	1.3	0.26236	0.384	0.68324	-0.5

Искомый многочлен Лагранжа может быть записан в виде:

Вычислим значение интерполяционного многочлена и точное значение функции в точке :

Характеристики

Список файлов учебной работы