rpd000003197 (1012246), страница 23

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 23)

3. Плотность распределения вероятностей. Гистограмма распределения. Приведенные выше характеристики дискретного распределения в виде ряда распределения или многоугольника распределения, для которых вся единичная вероятность распределена положительными конечными значениями, неприменимы для описания непрерывной случайной величины, поскольку в этом случае вся единичная вероятность как бы разлита по области возможных значений, то есть вероятность любого ее отдельного значения равна 0. В этом случае вероятности, связанных со случайной величиной x событий выражают посредством функции плотности вероятности р(x).

Определение. Функция р(x) называется плотностью вероятности, если для любых значений  и  (   )

Функция распределения F(x) и плотность р(x) связаны соотношением:

Плотность распределения вероятностей р(x) как и функция распределения F(x) есть одна из форм представления закона распределения случайной величины, но в отличие от функции распределения эта характеристика не является универсальной: она существует только для непрерывных случайных величин.

Выборочным аналогом функции плотности является гистограмма распределения. Поясним ее смысл. Для чего будем предполагать, что выборка реализаций х₁,...,х_N перенумерована в порядке возрастания значений х_i , то есть представляет собой вариационный ряд. Затем, разобьем интервал, содержащий все N значений на m непересекающихся интервалов, называемых интервалами группировки. Границы интервалов группировки обозначим _imin, _imax, i=1,...,m. Гистограммой (рис. 2.8) называется графическое представление зависимости частоты p_i попадания элементов выборки х₁,...,х_N в соответствующий интервал группировки [_imin, _imax].

,

где (x_i)- индикаторная функция; (x_i) =1, если x_i  [_imin, _imax]; 0 - в противном случае_. Последняя запись предполагает, что все интервалы группировки имеют одинаковую длину. То есть (_imax- _imin)=const, i=1,...,m. В противном случае, для того, чтобы избавиться от влияния длины интервала группировки, в последнее выражение вводится поправка на длину интервала

Замечание: Построение гистограммы распределения (наряду с выборочной функцией распределения) является необходимым и весьма ответственным этапом анализа эмпирического распределения тех или иных результатов экспериментальных исследований, так как опираясь на эти данные в некоторых случаях удается сформировать идею относительно статистической модели распределения, в рамках которой проводится дальнейший анализ. При этом если длина интервала группировки мала, существенным оказывается влияние случайных колебаний, так как каждый интервал содержит лишь небольшое число наблюдений. Напротив, чем больше величина интервала группировки, тем более скрадываются характерные черты распределения. Поэтому, если гистограмма распределения является основой для последующего обоснования вида статистической модели распределения, например, на основе критериев согласия, необходимо стремиться к тому, чтобы все интервалы группировки должны быть небольшими и иметь одну и туже длину.

Рассмотренные выше характеристики представляют исчерпывающее описание закона распределения случайной величины. Однако, во многих случаях идея относительно статистической модели распределения исследуемого показателя может быть получена на основе анализа отдельных числовых характеристик.

1. Показатели положения, описывающие положение исследуемых данных на числовой оси. В том числе:

1.1. Выборочное среднее:

,

где x_i,i=1,..,N - значения численной характеристики, измеренные в процессе экспериментальных исследований.

1.2. Выборочная медиана х_m, представляющая собой такое значение исследуемого случайного показателя Х, которое делит выборку пополам. То есть для 50% реализаций значения случайного показателя меньше, чем х_m , и для 50% реализаций значения случайного показателя больше, чем х_m:

.

1.3. Выборочная мода. Выборочная мода характеризует наиболее вероятное значение исследуемого случайного показателя. Для дискретной случайной величины мода соответствует такому значению показателя, в котором многоугольник распределения имеет максимум. Для непрерывной случайной величины модой называется значение случайного показателя в котором максимальна функция плотности вероятности. Если многоугольник распределения (функция плотности распределения) имеет более одного максимума, распределение называется полимодальным.

2. Показатели разброса распределения, характеризующие степень разброса значений исследуемого показателя относительно своего центра. К ним относятся:

2.1. Выборочная дисперсия:

2.2. Стандартное отклонение:

2.3. Стандартная ошибка или дисперсия оценки выборочного среднего:

2.4. Минимальное x_min и максимальное x_max выборочные значения, размах выборки R:

x_min= min(x_i, i=1,..,N);

x_max=max(x_i, i=1,..,N);

R=( x_{max -} x_min ).

2.5. Нижняя x_0.25 и верхняя x_0.75 квартили распределения, определяющие интервал значений исследуемого показателя, в который попадают 50% центральных элементов выборки:

x_0.25 = arg{F(x)=0.25},

x_0.75 = arg{F(x)=0.75,

F(x) - функция распределения случайной величины x.

Все перечисленные показатели позволяют оценить, насколько кучно основная масса экспериментальных данных группируется относительно центра. Кроме того, приведенные выше показатели распределения позволяют проводить анализ наличия выбросов в исследуемой совокупности экспериментальных данных. Выбросами называются значения случайного показателя, отличающиеся от основной массы данных. Часто причинами выбросов являются ошибки ручного ввода результатов экспериментальных исследований с клавиатуры компьютера. В то же время наличие выбросов в выборочной совокупности способно существенно исказить результаты последующего анализа и выводы, которые будут сделаны.

Наличие выбросов можно установить, используя гистограмму распределения с большим числом интервалов группировки (рис. 2.9). Также наличие выбросов можно заподозрить, если выборочная медиана заметно отличается от выборочного среднего, хотя в целом распределение симметрично, если положение медианы несимметрично относительно минимального и максимального элементов выборки.

Иногда в процессе экспериментальных исследований бортовых интегрированных комплексов ЛА используют результаты субъективной регистрации летным составом, например, полноты и качества представления пилотажной информации на приборной панели. Это приводит к тому, что во многих случаях в нашем распоряжении имеются числовые данные, для которых предпосылки классических статистических методов (предположения о каком-либо конкретном, чаще всего нормальном законе распределения), не выполняются. Основой для выводов в такой ситуации являются соотношения между значениями исследуемого показателя на уровне “больше - меньше”. Для анализа таких данных в математической статистике имеется развитый аппарат непараметрических методов анализа, основанный на переходе от анализа конкретных числовых значений к их рангам.

Рангом наблюдения называется тот номер, который получает данное значение в совокупности всех данных после их упорядочивания по некоторому правилу (например, в порядке возрастания или убывания значений). Предположим, что в результате проведенных экспериментальных исследований сформирована выборка реализаций х₁,...,х_N некоторого показателя. Допустим что реализации упорядочены в порядке возрастания их значений: х₁> х_2>...>х_N. Тогда результат ранжирования выборки (при условии отсутствия повторяющихся значений) может быть представлен последовательностью 1,2,3,...,N-1,N.

Статистические методы, формализующие процедуру выводов об исследуемых данных на основании их рангов, называются ранговыми. Значение ранговых методов в задачах анализа экспериментальных данных достаточно велико, так как они надежно работают при очень слабых предположениях о распределении исследуемых показателей.

Лекция 4.doc

Лекция 4. Выявление множественных различий между более чем двумя независимыми выборками.

Мы рассмотрели различные задачи статистического анализа экспериментальных данных, которые в математической постановке сводились к проблеме выявления различий по некоторому показателю между двумя независимыми выборочными совокупностями. Достаточно часто, анализируя результаты экспериментальных исследований, мы сталкиваемся с необходимостью выявления групповых различий в ситуации, когда число выборочных совокупностей больше, чем две, то есть результаты экспериментальных исследований в этом случае могут быть представлены в виде табл. 2.4.

Таблица 2.4

Структура экспериментальных данных.

В табл. 2.4 x_ij, i=1,…,n; j=1,…,k - значения числовой характеристики, на основе которых проводится сравнение исследуемых выборок;. k-количество выборочных совокупностей; n_j,j=1,…,k - количество объектов в выборках.

В зависимости от предположений о типе характеристики, на основе которой проводится сравнение выборочных совокупностей, используются различные методы для анализа различий между ними:

1. метод дисперсионного анализа используется в тех случаях, когда выборки сравниваются по значениям количественной характеристики, имеющей нормальное распределение;

2. ранговый критерий Краскела - Уоллеса применяется для анализа различий между группами в ситуации, когда сравнение проводится на основе количественного показателя, имеющего распределение отличное от нормального, или, когда численная характеристика, используемая для сравнения, измерена в порядковой шкале;

3. критерий ² привлекается для сравнения групп, когда характеристика, на основе которой проводится анализ, представляет собой качественный признак, регистрируемый по принципу «да – нет».

4.1. Метод дисперсионного анализа.

Метод дисперсионного анализа используется в тех случаях, когда на основе критериев согласия доказано, что распределение значений количественного показателя x_ij, i=1,...,n_i, j=1,...,k, используемого для сравнения выборочных совокупностей, является нормальным распределением.

В основе методов дисперсионного анализа лежит проверка гипотезы H₀: m_x1=m_x2=...=m_x2, предполагающая отсутствие различий в средних значениях случайного показателя x в исследуемых выборках. Проверка нулевой гипотезы проводится на основе сопоставлении двух оценок дисперсий ₁² и ₂² распределения значений x_ij. Причем, оценка дисперсии ₁² не зависит от того, верна ли нулевая гипотеза, и определяется следующим образом:

,

Характеристики

Список файлов учебной работы