rpd000003197 (1012246), страница 26

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 26)

После того, как принято решение относительно статистического метода, наиболее адекватного условиям и целям исследования осуществляется его непосредственная реализация с использованием программного статистического пакета.

Не менее важным, чем непосредственное получение результатов, этапом статистического исследования является интерпретация полученных результатов в терминах конкретной медицинской или биологической проблемы. Дело в том, что большинство статистических пакетов не выдает результатов в виде готового вывода. Статистический пакет позволяет получить лишь некоторые данные, опираясь на которые, должен быть сформулирован вывод. Потребитель результатов статистического анализа, не обладающей в необходимой степени знаниями в области статистических методов, не в состоянии понять, как эти абстрактные для него цифры отвечают на те вопросы, которые он хотел бы получить в результате проведенного исследования. Вот почему крайне важно не только получить результат, но и сформулировать вывод, понятный потребителю, наглядно проиллюстрировав его, используя средства графического и табличного представления данных, предлагаемые статистическим пакетом.

Из рассмотренной схемы проведения статистического исследования следует, что наиболее ответственным её этапом является выбор статистического метода. Ниже приводится сжатая схема, которая позволит принять решение относительно того, каким статистическим критерием следует воспользоваться в зависимости от цели исследования (объекта исследования) и типов полученных данных. Его основу составляет таблица 2.3, аналогичная [ ], и дополненная с учетом опыта автора.

Материал этого раздела не предполагает строгое изложение основ теории вероятности и математической статистики. Мы ограничились лишь комментариями по тем статистическим методам и критериям, которые наиболее часто используются в процессе анализа экспериментальных данных. Степень подробности, с которой описаны эти методы и критерии, тем не менее, достаточна для грамотной интерпретации результатов, получаемых с использованием статистических программных пакетов. В дальнейшем изложении мы будем иллюстрировать применение тех ли иных методов для решения практических задач с использованием возможностей пакета STATISTICA. Заметим также, что изложение не является руководством по работе с пакетом, оно ориентировано в большей степени на интерпретацию тех результатов, которые получены с использованием данного пакета.

Таблица 2.1.

Статистические критерии, наиболее часто используемые в процессе анализа результатов экспериментальных исследований и доступные в статистических пакетах

2.3. Обоснование статистической модели данных экспериментальных исследований. Критерии согласия.

Как следует из приведенной выше таблицы все многообразие подходов к решению практических задач статистического анализа экспериментальных данных основано на определенных предположениях относительно характера распределения исследуемых параметров, в рамках которых делаются те или иные выводы. Чем точнее наши предположения соответствуют объективному распределению исследуемых факторов, тем точнее и надежнее будут наши статистические выводы.

Приведенные в таблице 2.3. методы в зависимости от характера распределения исследуемых параметров можно разделить на две группы.

Первая группа методов используются для обработки количественных характеристик исследуемого объекта в тех случаях, когда они имеют нормальный закон распределения. Причем строгое подтверждение соответствия распределения исследуемого показателя нормальному закону распределения должно быть получено на основе строгих количественных критериев, называемых критериями согласия.

Вторая группа методов, называемых непараметрическими (ранговыми), применяется в процессе обработки либо случайных числовых характеристик, измеренных в количественной шкале, но имеющих распределение, отличное от нормального закона, либо характеристик, измеренных в порядковой шкале или качественных признаков. Как правило, в основе методов непараметрической статистически лежит переход от исходных числовых данных к их рангам. Заметим, что в этом случае исследователь получает несколько менее точные выводы, но зато непараметрические модели имеют гораздо более широкую область применения.

Итак, первый обязательный шаг, который необходимо выполнить при решении разнообразных задач статистического анализа экспериментальных данных заключается в том, чтобы установить (либо опровергнуть) соответствие распределения исследуемых экспериментальных данных нормальному закону распределения. Для этой цели в математической статистике используют критерии, называемые критериями согласия [32].

Критериями согласия называют статистические критерии, предназначенные для подтверждения соответствия между гипотетической статистической моделью, используемой для описания распределения экспериментальных данных, и реальным распределением.

В зависимости от уровня наших предположений о характере распределения экспериментальных данных могут быть выдвинуты различные предположения (или гипотезы) проверка которых возможна с использованием критериев согласия.

Простой называется гипотеза, которая непосредственно указывает на некоторый закон распределения вероятностей, который описывает исследуемые выборочные значения. Например, ставится задача оценки согласия распределения эмпирических значений нормальному закону распределения с известным математическим ожиданием и дисперсией.

Сложной называется гипотеза, предполагающая принадлежность эмпирического распределения какому-либо параметрическому семейству. Например, сложная гипотеза возникает в том случае, если необходимо подтвердить согласие эмпирического распределения нормальному, параметры которого априори неизвестны, а определяются на основе выборки реализаций исследуемой случайной величины.

Поясним смысл критериев согласия в минимальном объеме, достаточном для правильной интерпретации результатов проверки соответствия распределения исследуемых показателей нормальному закону, получаемых с помощью статистических пакетов.

1. Критерии согласия Колмогорова-Смирнова и ². Рассмотрим сначала содержание критерия Колмогорова-Смирнова для простой гипотезы. Предположим, то исследуется распределение случайной количественной характеристики объекта или процесса Х. Ранее мы установили, что исчерпывающей характеристикой распределения скалярной случайной величины Х является функция распределения F(х). Критерий согласия Колмогорова-Смирнова основан на проверке близости теоретической (истинной) функции распределения F(х) и выборочной функции распределения F*(х).

Статистика Колмогорова-Смирнова представляет собой следующую величину (рис. 2.3):

D_n = supF*(х)-F(х).

- x 

Очевидно, что значение D_n - случайная величина, поскольку оно зависит от случайных выборочных значений F*(х). Доказано [ 32 ], что при справедливости предположения о согласии теоретического и эмпирического распределений случайной величины Х (основная или «нулевая» гипотеза) закон распределения статистики D_n(n)^1/2 (функция распределения Колмогорова) не зависит от вида истинной функции распределения F(х), которая предполагается непрерывной, а зависит только от объема выборки n.

Из приведенного выше выражения для D_n ясно, что в пользу справедливости нулевой гипотезы говорят малые значения статистики Колмогорова. Вопрос в том, какие значения считать достаточно малыми, учитывая случайный характер величины D_n. Для распределения значений D_n составлены таблицы процентных точек, позволяющие для заданной доверительной вероятности определить уровень, не превышаемый значением D_n, при справедливости выдвинутого предположения.

Используя таблицы значений функции Колмогорова можно сформулировать правило проверки гипотезы о согласии эмпирического и теоретического распределения. Для этого зададим значение вероятности =P{D_n z} того, что значение статистики D_n не превысит некоторого уровня z. По таблице значений функции Колмогорова определим квантиль z_ - предельное значение, не превышаемое статистикой D_n при условии согласия эмпирического и теоретического распределения с уровнем доверительной вероятности .

Пояснения требует то, каким следует задавать значение доверительной вероятности , чтобы обеспечить достаточную достоверность выводов. Этот момент является весьма важным с точки зрения правильной интерпретации результатов статистической обработки. В [32] дается следующее определение доверительной вероятности: «Вероятности, признанные достаточными для уверенного суждения о генеральных параметрах на основании известных выборочных показателей, называются доверительными». Понятие доверительной вероятности преложено Р. Фишером. Оно вытекает из принципа, который положен в основу применения теории вероятностей к решению практических задач. Согласно этому принципу маловероятные события считаются практически невозможными, а события, вероятность которых близка единице, принимаются за почти достоверные. Обычно, в качестве доверительных вероятностей используются значения =0.95, =0.99, =0.999. Таким образом, при справедливости выдвинутого предположения рассчитанное значение статистики Колмогорова с гарантированной доверительной вероятностью  не превысит значения квантили z_.

Из вышесказанного следует, что нулевая гипотеза, предполагающая согласие эмпирического и теоретического распределения должна быть отвергнута, если рассчитанное на основании опытных данных значение D*_n превосходит критическое значение z_. Иначе говоря, она должна быть отвергнута, если в предположении о её справедливости, вероятность p=Р{D_n  D*_n } получить такое же как в опыте или еще большее значение статистики Колмогорова мала. Если при этом, p  1-, где - принятое значение доверительной вероятности (=0.95, =0.99, =0.999), говорят, что нулевая гипотеза отвергается на уроне значимости 1-. Заметим, что именно такое правило проверки согласия реализовано в большинстве известных статистических пакетов.

2. Критерий согласия ² отличается от критерия Колмогорова-Смирнова тем, что в качестве количественной меры близости эмпирической F*(х) и теоретической F(х) функции распределения используется интеграл следующего вида:

Известно, что при справедливости гипотезы, предполагающей соответствие эмпирического и теоретического законов, распределение значений ² так же, как и распределение статистики Колмогорова не зависит от вида теоретической функции распределения. Распределение статистики n²: P( n² z ) также табулировано в зависимости от объема выборки реализаций n и, следовательно, используя таблицы распределения значений n² легко сформулировать правило проверки гипотезы, аналогичное рассмотренному выше для критерия Колмогорова-Смирнова.

В отличие от критерия согласия для простой гипотезы, в случае сложной гипотезы предполагается, что выборочные значения Х_i,i=1,…,n принадлежат некоторому параметрическому семейству распределений F(,х), причем параметры  этого распределения неизвестны. Проверка согласия в этом случае основана на предварительном вычислении оценок * параметра  методами статистического оценивания с последующим использованием модифицированных статистик Колмогорова-Смирнова и ².

3. Критерий согласия ² К. Пирсона. Как указывалось выше использование критериев согласия Колмогорова-Смирнова и ² требуют подтверждения непрерывности теоретического распределения F(х). Это обстоятельство не позволяет применять их ко всем выборкам. Более универсальным, свободным от указанного недостатка, является рассматриваемый ниже критерий согласия, известный, как критерий согласия ² К. Пирсона. По-прежнему будем полагать, что по результатам проведенных исследований сформирована выборка реализаций случайной величины Х_i,i=1,…,n объема n. Разобьем диапазон возможных значений случайной величины на k непересекающихся интервалов _i, i=1,..,k и представим результаты опытов в виде статистического ряда- р*_i, i=1,...,k, где р*_i- частота попадания реализаций случайной величины в соответствующий интервал группировки _i.

Характеристики

Список файлов учебной работы