rpd000003197 (1012246), страница 25

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 25)

1. Биномиальное распределение является одной из наиболее распространенных статистических моделей распределения дискретных случайных величин. Оно возникает при проведении экспериментальных исследований по схеме Бернулли, предполагающей выполнение следующих условий:

- анализируемые данные получены в результате последовательности независимых опытов, проводимых в одинаковых условиях, которые допускают только два возможных исхода (условно обозначаемые “успех” и “неудача”); Поставим в соответствие “успеху” значение случайной величины равное X=1, а неудаче - X= 0.

- вероятность успеха (или неудачи) в каждом отдельном опыте одна и также. Обозначим вероятность успеха р=P{X=1}. Тогда вероятность “неудачи” q=P{X=0}=1-p.

Допустим, что проведено n опытов. Тогда результаты серии опытов можно представить в виде последовательности, содержащей в любом порядке n нулей и единиц. Если выполнены предпосылки схемы Бернулли, тогда вероятность того, что в серии из n будет получено ровно k единиц и n-k нулей, располагаемых в произвольном порядке равна:

P(X=k)=C_n^kp^kq^n-k=(n!/k!(n-k!)) p^kq^n-k.

Биномиальное распределение достаточно часто применяется для оценок надежности элементов бортовых интегрированных комплексов ЛА. Пусть, например, вероятность безотказной работы некоторого элемента в отдельном полете равна 0.99, а вероятность отказа соответственно равна 0.01 . Тогда, предполагая, что в каждом отдельном вылете исследуемый элемент может находится либо в состоянии работоспособности, либо в состоянии отказа, оценим вероятность его безотказной работы в течении 10 полетов. Иными словами оценим вероятность того, что в серии из 10 полетов ЛА произойдет один отказ интересующего нас элемента. В соответствии с биномиальным законом распределения эта вероятность будет равна

2. Нормальное распределение является одной из наиболее распространенных статистических моделей распределения непрерывных случайных величин. Как показывает практика, самые разнообразные экспериментальные данные с достаточной степенью достоверности можно считать выборками из нормального распределения. Нормальное распределение возникает тогда, когда значение показателя, измеряемое в результате экспериментального исследования, может рассматриваться как результат воздействия большого числа независимых (или почти независимых) факторов, подчиненных каким угодно законам распределения, причем каждый из них вносит малый вклад в изменение значений случайного показателя.

Непрерывная скалярная случайная величина x имеет нормальное (или гауссовское) распределение вероятностей с параметрами m_x,_x², если ее плотность распределения р(x) задается функцией следующего вида:

То есть функция плотности р(x) нормального распределения полностью определена двумя параметрами m_x,_x²., m_x - математическое ожидание случайной величины x, которое задает ее положение на числовой оси, а величина _x- среднеквадратическое отклонение, характеризующее степень разброса значений случайной величины x (рис. 2.1).

Параметрическое представление функции плотности нормального распределения делает достаточно простым решение задачи определения вероятности попадания случайной величины x в заданный интервал (,), знание которой позволяет сделать некоторые важные для решения практических задач выводы. Ограничимся записью конечного результата [ ]:

,

где Ф(x)- функция распределения стандартного нормального распределения (то есть нормального распределения с параметрами m_x=0 и _x=1).

Функцию Ф(x) часто называют функцией Лапласа. Для функции Ф(x) существуют многочисленные таблицы разной степени подробности. Можно порекомендовать такое фундаментальное издание, как [ ]. В указанном сборнике также приводятся значения квантилей стандартного нормального распределения. Они позволяют для заданного значения вероятностей , находить значение  такое, которое не будет превышено случайной величиной x с вероятностью  , то есть P{ x  } = . Необходимость решения подобной задачи возникает часто в практических задачах при проверке статистических гипотез.

Используя табулированные значения функции Лапласа Ф(x) легко рассчитать границы доверительного интервала, то есть интервала, в который попадает нормально распределенная случайная величина с заданным уровнем доверительной вероятности. На практике, в качестве оценок интервалов возможных значений нормально распределенной случайной величины используют инженерное “ правило трех сигм”, которое утверждает следующее: если x- нормально распределенная случайная величина с математическим ожиданием m_x и среднеквадратическим отклонением _x, то с вероятностью 0.9933 все реализации случайной величины x будут принадлежать интервалу

[m_x-3_x, m_x+3_x]. То есть:

.

Указанное свойство иногда используется для предварительных, грубых оценок среднеквадратического отклонения нормально распределенной случайной величины: берется максимальное отклонение от среднего и делится на 3.

В некоторых случаях для оценки доверительного интервала, которому принадлежит случайная величина x используют 2-х сигмальную область, соответствующую доверительной вероятности 0.95:

3. Распределения, связанные с нормальным распределением. При решении многих задач статистического анализа экспериментальных данных, которые будут рассмотрены в последующих разделах, для проверки различных статистических гипотез будут использоваться статистики, свойства которых хорошо описываются некоторыми распределениями, связанными с нормальным. К ним относятся: распределение ², распределение Стьюдента (или t-распределение), F-распределение.

3.1. Распределение ². Пусть х₁, х₂,..., х_n - независимые нормально распределенные случайные числа с параметрами х_i  N(0,1), i=1,...,n. Тогда случайная величина, представляющая собой сумму квадратов:

,

имеет распределение ² с n степенями свободы.

В практических задачах проверки статистических гипотез, как правило, нас интересуют значения квантилей случайных величин ²_n, соответствующих определенному уровню доверительной вероятности p, то есть значения уровня ²_p, при котором P{²_n < ²_p}=p.

3.2 Распределение Стьюдента (t-распределение). Пусть х₀,х₁,х₂,... х_n - независимые нормально распределенные случайные числа с параметрами х_i  N(0,1),i=1,...,n. Тогда случайная величина t_n, определяемая отношением:

имеет распределение Стьюдента с n-степенями свободы.

3.3 F-распределение. Пусть х₁,х₂,...х_m; y₁,y₂,...,y_n - независимые нормально распределенные случайные числа с параметрами х_i  N(0,1),i=1,...,m; y_i N(0,1),i=1,...,n; Тогда случайная величина F_mn, определяемая отношением:

,

имеет F-распределение с параметрами m,n.

2.2. Структура статистического анализа данных экспериментальных исследованием с применением специализированных программных пакетов. Статистические критерии, наиболее часто используемые в процессе статистической обработки экспериментальных данных.

Несмотря на многообразие существующих программных статистических пакетов, можно сформулировать некоторую типовую последовательность операций, выполняемых в процессе статистического исследования [13], одинаково пригодную, независимо от типа конкретного пакета (рис. 2.2).

Из приведенной схемы следует весьма важный вывод, состоящий в том, что статистическое исследование, проводимое с помощью любого, даже самого совершенного статистического пакета, требует квалифицированного участия специалиста, обеспечивающего получение результатов. Современные статистические программные пакеты делают методы анализа данных более доступными и наглядными, освободив пользователя от необходимости выполнения большого объема трудоемких расчетов, сохраняя за ним реализацию самых ответственных этапов статистического исследования:

1. математическая постановка задачи, отвечающая целям и условиям проведения экспериментального исследования;

2. выбора метода её решения;

3. интерпретации и наглядное представление результатов.

Как следует из приведенной на рис. 2.2 схемы, прежде, чем приступить к непосредственной статистической обработке результатов, необходимо, привлекая специалистов, обеспечивающих непосредственное проведение эксперимента, прояснить условия проведения исследования, существенные с точки зрения использования тех или иных методов статистического анализа. К числу важнейших моментов, которые должны быть прояснены в результате тесного диалога со специалистами, являются следующие:

1. какова природа данных и каков источник их получения. Это могут быть результаты измерений, полученные с помощью регистрирующей аппаратуры (что характерно для количественных данных), это могут быть результаты субъективной регистрации специалистом фактов наличия или отсутствия тех или иных признаков у объекта исследования (что приводит к появлению данных качественной природы), наконец, это могут быть результаты субъективной регистрации исследователем степени проявления тех или иных показателей исследуемого объекта (что характерно для данных, измеренных в порядковой шкале).

2. что являлось объектом экспериментальных исследований. Приведенный в схеме перечень объектов, безусловно, не исчерпывает всех практических случаев, но он охватывает наиболее распространенные ситуации, возникающие в процессе экспериментальных исследований интегрированных комплексов ЛА. Как следует из схемы, приведенной выше, предметом статистического исследования могут быть:

1. две независимые выборки. Такая ситуация достаточно часто возникает в процессе статистического анализа экспериментальных данных. Например, с подобной задачей мы сталкиваемся в тех случаях, когда целью статистического исследования является подтверждение эффективности включения в состав бортового комплекса ЛА алгоритмических средств интеллектуальной поддержки летчика (информационно-экспертных или оперативно-советующих систем). В этом случае в процессе экспериментального исследования два разных летчика, обладающих одинаковой летной квалификацией и опытом, на одном и том же самолете многократно повторяют режим посадки, качество которого оценивается по величине бокового отклонения от оси взлетно-посадочной полосы (ВПП) в точке касания. Причем, один из летчиков в процессе посадки использует традиционные средства отображения пилотажной информации, а другой – использует подсказки, формируемые перспективной информационно-экспертной системой. Очевидно, что величина бокового отклонения в точке касания ВПП будет определяться, в том числе, и действующими случайными возмущениями (например, ветровыми). То есть, результатами экспериментальных исследований в этом случае будут выборки случайных значений боковых отклонений, характеризующие точность выполнения режима посадки каждым из летчиков. Если в результате последующей обработки будет подтверждено наличие статистически значимого уменьшения бокового промаха за счет использования перспективных средств поддержки летчика, можно утверждать, что эти средства действительно эффективны.

В математической постановке подобная задача предполагает проверку гипотезы о наличии (отсутствии) различий по величине бокового отклонения между двумя независимыми выборками, объединяющими значения боковых отклонений, достигнутыми каждым из летчиков в процессе экспериментальных исследований. Методы ее решения в существенной степени зависят от способа численной оценки качества посадки по величине бокового отклонения в процессе эксперимента. Например, для оценки качества посадки могут использоваться бинарные оценки («успех», «неудача»), оценки, выраженные в шкале тестовых баллов («отлично», «хорошо», «удовлетворительно», «неудовлетворительно»), либо количественные оценки на основе измерения величины бокового отклонения. Каждая из перечисленных выше групп данных предполагает использование собственных, адаптированных для работы именно с этим типом данных, методов статистической обработки.

1. более двух независимых групп. Если продолжить рассмотренный выше пример, подобная ситуация возникает, когда в процессе экспериментальных исследований проводится тестирование нескольких конкурирующих вариантов реализации бортовых информационно-экспертных систем, эффективность которых оценивается по численному показателю, отражающему качество выполнения режима посадки. В этом случае мы сталкиваемся с необходимостью анализа множественных различий между более, чем двумя независимыми выборками реализаций численного показателя, с помощью которого оценивается качество выполнения режима посадки летчиками, использующими различные варианты перспективных бортовых информационно-экспертных систем;

2. две выборки, объединяющие данные до и после воздействия на исследуемый объект. Примером подобной ситуации может служить экспериментальное исследование, целью которого являлась оценка влияния определенной перегрузки, возникающей в полете, на физиологические показатели летчика (частота дыхания, кровяное давление и т.д.). В этом случае в процессе экспериментального исследования на центрифуге у летчика многократно измеряется численная характеристика его физиологического состояния до воздействия и после влияния на него перегрузки. Целью статистического исследования является ответ на следующий вопрос: наблюдается ли статистически значимое изменения физиологического состояния летчика в результате воздействия перегрузки. В математической постановке подобная задача, как и в случае 1), предполагает проверку гипотезы о наличии (отсутствии) различий между двумя выборками, объединяющими значения численной характеристики физиологического состояния летчика до и после воздействия на его перегрузки. Отличие состоит в том, что выборки в этом случае не являются не зависимыми, поскольку экспериментальные данные представляют результат воздействия на один и тот же объект. Это обстоятельство предполагает использование методов обработки, адаптированных для работы с результатами повторных наблюдений;

3. более, чем две выборки, объединяющие данные, накопленные в результате повторных воздействий на исследуемый объект. Продолжим обсуждение сценария экспериментального исследования, рассмотренного выше. Примером подобной ситуации может служить экспериментальное исследование, проводимое с целью анализа влияния перегрузок различной интенсивности на физиологические показатели летчика.. В этом случае объектом статистического исследования являются более, чем две выборки значений количественного показателя, отражающего физиологическое состояние летчика для каждого уровня перегрузки. В математической постановке задача формулируется как оценка множественных различий между зависимыми выборками случайного показателя.

Следующим наиболее ответственным этапом, статистического исследования является формулировка математической (статистической) задачи, отвечающей целям проведенного экспериментального исследования. Современный аппарат математической статистики предлагает обширный набор критериев, эффективно работающих в рассмотренных нами ситуациях. Однако, каждый из этих критериев эффективен лишь тогда, когда реальные условия проведения исследования соответствуют тем допущениям, которые ограничивают его применение. Более того, использование сложных методов статистического анализа требует не только знания теории этих методов и большого опыта их применения, но и грамотного описания деталей этого применения для обоснования полученных выводов. С целью исключения неверных выводов, связанных с ошибочным использованием статистических критериев, недостаточно адекватно отражающих условия и цели экспериментального исследования, окончательное решение относительно предпочтительности того или иного статистического метода следует принимать после обсуждения со специалистами всех деталей проведенного эксперимента.

Характеристики

Список файлов учебной работы