Типовые задачи по линейной алгебре (1006509), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Разделив все элементы присоединенной матрицы на определитель det B  2 , получим1 1  1 21обратную матрицу: B 1 B   0 10 .det B 0 1 1 2  1 1  1  1 2 1 1 0 02 Проверим равенство B 1  B  E :  0 10  0 1 0  0 1 0 . 0  1 1   0 2 2   0 0 1 2Найдем обратную матрицу B 1 при помощи элементарных преобразований (п. б) з а дания).1. Составим блочную матрицу B E  , приписав к матрице B единичную матрицу тогоже порядка:1 2 1 1 0 0B E    0 1 0 0 1 0  .0 2 2 0 0 12. Элементарными преобразованиями строк приводим ее к виду ( E1 2 1 1 0 0 1 0 1 1  2 0 0 1 0 0 1 0 ~ 0 1 0 0 1 0 ~0 2 2 0 0 1 0 0 2 0  2 1 1 0 1 1  2 0   1 0 0 1 1  1  2~ 0 1 0 0 1 0  ~ 0 1 0 0 10 . 0 0 1 0  1 1   0 0 1 0  1 1 2  2E31 1  1 2В правом блоке получаем обратную матрицу B 1   0 10 . 0 1 1 2 1Ответ: A 1  1  0,5 1 21  , B   0 1 0 .  0,5 0,5  0  1 0,5 36B 1 ) :Пример 13.

Решить матричные уравнения  2 2 4 3 X    3 X ;1)  3 2 2 1  2 2   4 3    3 X ,2) X  3 2   2 1 1 3 X3)  1 2 8  5   4 3   .3  2   2 1Решение. У р а в н е н и е 1) преобразуем, перенося в левую часть слагаемое 3 X  3EX :  2 2  3 0 4 3  2 21 0 4 31 2 4 3    X     X  3  X      X   .3203213201213521Получили уравнение вида AX  B . Его решение X  A1B находим, применяя для обращения матрицы правило (4.2):1 1 2   4 3 1  5  2   4 3 16 13    16  13         .X  8  3 5   2 1  1   3 1   2 1  10  8   10У р а в н е н и е 2) преобразуем, перенося в левую часть слагаемое 3 X  3 XE :   2 2   3 0    4 3  2 2 1 0   4 3 1 2   4 3       X   3 X     X     .X  3 2 0 1   2 1 3 5   2 1  3 2   0 3   2 1Получили уравнение вида XA  B .

Его решение X  BA1 находим, применяя для обращения матрицы правило (4.2): 4 3  1 2  X   2 1  3 5 1 4 3 1  5  2 11  5    11 5        .  2 1 1   3 1  7  3   7 3У р а в н е н и е 3) имеет вид AX B  C . Его решение ищем по формуле X  A1CB 1 :1  1 3   4 3  8  5   X    1 2   2 1  3  2 1 2  3   4 3  1   2 5   2 3   2  5  13  34         .  1  1   2 1   1   3 8   2 2   3  8  10  26   16  13   11 5 13  34  ; 2)  ; 3)  .Ответ: 1) 8  10  7 310  26 375. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙСистемой m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными называется система уравнений видаa11x1  a12 x2    a1n xn  b1,a21x1  a22 x2    a2 n xn  b2 ,a x  a x    a x  b .mn nm m1 1 m 2 2(5.1)Числа aij , i  1,  , m , j  1,  , n называются коэффициентами системы; b1 , b2 ,…, bm –свободными членами; x1 , x2 ,…, xn – неизвестными.

Количество m уравнений в системеможет быть меньше, больше или равно числу n неизвестных.Решением системы называется упорядоченная совокупность n чисел 1,  2 ,  ,  n такая, что после замены неизвестных x1 , x2 ,…, xn соответственно числами 1 ,  2 ,…,  n каждое уравнение системы превращается в верное числовое равенство. Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Если система не имеет ни одного решения,то она называется несовместной. Совместная система называется определенной, если еерешение единственное, в противном случае, если решений больше чем одно, система называется неопределенной.Система (5.1) называется однородной, если все свободные члены равны нулю:a11x1  a12 x2    a1n xn  0,a21x1  a22 x2    a2n xn  0,a x  a x    a x  0 .mn n m1 1 m 2 2(5.2)В отличие от однородной систему общего вида (5.1) называют неоднородной.Систему (5.1) принято записывать в матричной форме.

Для этого из коэффициентов системы составляем матрицу системы A , свободные члены записываем в столбец свободныхчленов b , а неизвестные – в столбец неизвестных x : a11  a1n A   ,a m1  amn  b1  b  ,b  m x1  x    .x  nМатричная запись неоднородной системы уравнений (5.1) имеет видAx  b ,а однородной системы уравнений (5.2) –38(5.3)Ax  o ,(5.4)где символ o в правой части обозначает нулевой столбец размеров m  1 .Рассмотрим случай, когда число m уравнений равно числу n неизвестных ( m  n ), т.е.системуa11x1    a1n xn  b1 ,a x    a x  b ,nn nn n1 1где матрица системы – квадратная n -го порядка: a1n  a2 n .   ann  a11 a12aaA   21 22a n1 an 2Ее определитель обозначимa11 a12  a1naa22  a2n  det A  21.  an1 an 2  annПравило Крамера. Если определитель  матрицы системы n линейных уравнений с nнеизвестными отличен от нуля, то система имеет единственное решение, которое находится по формуламxi  i ,i  1,  , n ,(5.5)где  i – определитель матрицы, полученной из матрицы системы заменой i -го столбцастолбцом свободных членов, т.е.i a11  a1 i 1 b1a21  a2 i 1 b2an1  an i 1 bna1 i 1  a1na2 i 1  a2n.(5.6)an i 1  annЕсли   0 и хотя бы один определитель  i  0 , то система несовместна.

Если  1  ...   n  0 , то возможны два случая: либо система несовместна, либо имеет бес-конечно много решений.Теорема Кронекера–Капелли. Система Ax  b совместна тогда и только тогда, когдаранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы: rg A  rg  A b  .39Теорема Кронекера–Капелли дает лишь критерий существования решения системы, ноне указывает способа отыскания этого решения.Метод Гаусса решения системы линейных уравненийПусть дана система (5.1) m линейных уравнений с n неизвестными.

Для ее решениянужно выполнить следующие действия:1. Составить расширенную матрицу системы:a 11  a1nA b      am1  am nb1  .bm 2. Используя элементарные преобразования над строками матрицы  A b  , привести еек ступенчатому виду (см. разд.1). Если базисный минор матрицы A расположен в первых rстроках и r столбцах, получится следующий вид: 1 a~120 1~ ~ A b  0 00 00 0 a~1r  a~1n a~2r  a~2n    1  a~rn0000~b1 ~b2  ~br  .~ br 1  0 (5.7)3. Выяснить, совместна система или нет.

Для этого определить ранги матриц A иAb :~~rg A  rg A  r – число ненулевых строк в матрице A ;~~ ~ r  1, если br 1  0 ,rg  A b   rg A b  ~ r , если br 1  0 .~Если rg A  rg A b  при br 1  0 , то система не имеет решений. Процесс решения за-~вершен. Если rg A  rg A b  при br 1  0 , то система совместна. Процесс решения продол-жается.4. Для совместной системы ( rg A  rg A b   r ) привести матрицу (5.7) к упрощенномувиду (см. разд. 1). Для этого при помощи элементарных преобразований над строками добиваемся того, чтобы в каждом столбце, входящем в базисный минор, все элементы были равны нулю, за исключением одного, равного единице.

Если базисный минор матрицы A рас-40положен в первых r строках и первых r столбцах, то матрица приводится к упрощенномувиду:10 A b   000010000 a1 r 10 a2 r 1 11 arr0000 a1 n b1  a2 n b2    arn br  . 0 0   0 0 (5.8)Первые четыре пункта составляют прямой ход метода Гаусса.

В результате прямого хода исходная система существенно упрощается (имеет вид Ax  b ):x1  a1 r 1xr 1  ...  a1 n xn  b1 ,xr  ar r 1xr 1  ...  ar n xn  br .(5.9)5. По упрощенному виду (5.8) разделяем все неизвестные x1 , x2 ,…, xn на базисные исвободные. Неизвестные, которым соответствуют столбцы, входящие в базисный минор, называются базисными переменными, остальные неизвестные – свободными переменными.Для системы (5.9) базисными переменными являются x1 , x2 ,…, xr , свободными переменными – xr 1 , xr  2 ,…, xn . Выражаем в (5.9) базисные переменные через свободные: x  b  a x  ...

 a x ,1n n 1 1 1 r 1 r 1 x  b  arr r 1xr 1  ...  ar n xn . r(5.10)Если ранг r матрицы системы равен числу n неизвестных ( r  rg A  n ), то левый блокматрицы (5.8) будет представлен единичной матрицей En : 1 0  0 b1  0 1  0 b2  A b  . 0 0  1 b nВсе неизвестные x1 , x2 ,…, xn будут базисными, и формула (5.10) будет определять единственное решение системы: x1  b1 , x  b , 22 xn  bn .41(5.11)Если ранг матрицы системы меньше числа неизвестных ( rg A  n ), то система имеетбесконечно много решений, задаваемых формулой (5.10).Равенства (5.10), выражающие базисные переменные через свободные, называются общим решением системы (5.1).

Решение системы, получающееся по формуле (5.10) при задании конкретных значений свободных переменных, называется частным решением системы(5.1).Свойства формул общего решения системы1. При любых значениях свободных переменных xr 1 , xr  2 ,…, xn по формуле (5.10) получаются такие значения базисных переменных, что упорядоченный набор чисел x1 , x2 ,…, xnявляется решением системы (5.1);2. Любое решение x1 , x2 ,…, xn системы (5.1) удовлетворяет равенствам (5.10).Процесс решения совместной системы (5.1) заканчивается получением формулы (5.10)общего решения (в частности, определением единственного решения (5.11)).

Содержание п.5алгоритма составляет обратный ход метода Гаусса.Общее решение однородной системыОднородная система линейных уравнений (5.2) (или (5.4)) всегда совместна, так как имеет тривиальное решение x1  x2  ...  xn  0 (или x  o ). Если ранг матрицы системы равенколичеству неизвестных ( rg A  n ), то тривиальное решение единственное. Предположим,что r  rg A  n .

Характеристики

Список файлов книги