Типовые задачи по линейной алгебре (1006509), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Произведение обо-значается  A или A  .Матрица (1) A называется противоположной матрице A и обозначается  A . Суммаматриц B и  A называется разностью и обозначается B  A .Операции сложения матриц и умножения матрицы на число называются линейнымиоперациями над матрицами. Свойства линейных операций над матрицами совпадают сосвойствами операций сложения (вычитания) алгебраических выражений (например, многочленов) и умножения алгебраического выражения на число.Свойства линейных операций над матрицамиДля любых матриц A , B , C одинаковых размеров и любых чисел  ,  справедливыравенства:1.

A  B  B  A ;2.  A  B   C  A  B  C  ;3.   A  B    A   B ;4.    A   A   A ;5.   A    A ;6. 1  A  A .Пусть даны матрицы A  (aij ) размеров m  p и B  (bij ) размеров p  n . Матрица Cразмеров m  n , элементы cij которой вычисляются по формулеcij  ai1 b1 j  ai 2 b2 j    aip b pj , i  1,.., m ; j  1,.., n ,называется произведением матриц A и B и обозначается С  AB . Операция умноженияматрицы A на матрицу B определена только для согласованных матриц, у которых числостолбцов матрицы A равно числу строк матрицы B :C  A B .mnm p pnЗаметим, что в общем случае A B  B A , но существуют квадратные матрицы, произведение которых не зависит от перестановки множителей. Матрицы A и B называются перестановочными, если A B  B A . Перестановочными могут быть только квадратные матрицыодного и того же порядка.Свойства умножения матрицПусть  – любое число; A , B , C – произвольные матрицы, для которых определеныоперации умножения и сложения, записанные в левых частях следующих равенств.

Тогдаопределены операции, указанные в правых частях, и справедливы равенства:1.  A B C  A B C  ;2. A B  C   A B  A C ;3.  A  B C  A C  B C ;4.   A B    A B .7Для любой квадратной матрицы A ( n -го порядка) определено произведение A  A    A(матрицы A на себя). Поэтому можно говорить о целой неотрицательной степени матрицы, определяя последовательноA0  E , A1  A , A2  A A , A3  A2 A ,…, Am  Am 1 A , … .Пусть pm ( x)  a0  a1x  a2 x 2  ...  am x m – многочлен (степени m ) переменной x , A – квадратная матрица n -го порядка.

Выражение вида2mpm ( A)  a0 E  a1 A  a2 A  ...  am AA0называется многочленом от матрицы A . Многочлен pm ( A) является квадратной матрицейn -го порядка. a11 a12  a1n  a11 a21  am1  a21 a22  a2n T  a12 a22  am 2 Для любой матрицы A  матрица A  , получающаяся     a a a  a a a mn mn  m1 m 2 1n 2nиз матрицы A заменой строк соответствующими столбцами, а столбцов – соответствующими строками, называется транспонированной матрицей. Чтобы по данной матрице A получить матрицу AT , нужно первую строку матрицы A записать как первый столбец матрицы AT , вторую строку матрицы A записать как второй столбец матрицы AT и т.д.

Эта операция называется транспонированием матрицы A . Квадратная матрица называется симметрической, если AT  A , и кососимметрической, если AT   A .Свойства операции транспонированияПусть  – любое число; A , B – произвольные матрицы, для которых определены операции умножения и сложения, записанные в левых частях следующих равенств. Тогда определены операции, указанные в правых частях, и справедливы равенства:1. AT   AT ;2.  A  B T  AT  BT ;3.  A B T  BT AT ; T  A .4. ATБлочные матрицыМатрица A размеров m  n , разделенная горизонтальными и вертикальными линиями наблоки (клетки), которые представляют собой матрицы, называется блочной (клеточной)матрицей.

Элементами блочной матрицы A являются матрицы. Операции сложения, умножения на число и произведения блочных матриц выполняются по тем же правилам, что и дляобычных матриц, только вместо элементов в формулах используются блоки.8Блочные матрицы A и B называются согласованными, если разбиение матрицыA  ( Aik ) на блоки по столбцам совпадает с разбиением матрицы B  ( Bkj ) по строкам, т.е.блоки Aik имеют размеры mi  pk , а блоки Bkj – pk  n j ( k  1,2,  , s ). У согласованныхблочных матриц блоки Aik и Bkj являются согласованными матрицами.Произведением C  A B согласованных блочных матриц A и B называется блочнаяматрица C  (Cij ) , блоки которой вычисляются по следующей формуле:Cij  Ai1B1 j  Ai 2 B2 j    Ais Bsj .Это означает, что согласованные блочные матрицы можно перемножать обычным для матриц способом.Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие ее преобразования:I.

Перестановка двух столбцов (строк) матрицы.II. Умножение всех элементов одного столбца (строки) матрицы на одно и то же число,отличное от нуля.III. Прибавление к элементам одного столбца (строки) соответствующих элементов другого столбца (строки), умноженных на одно и то же число.Матрица B , полученная из исходной матрицы A путем конечного числа элементарныхпреобразований, называется эквивалентной.

Это обозначается A ~ B .Квадратную матрицу, полученную из единичной при помощи конечного числа элементарных преобразований, будем называть элементарной.Теорема (о приведении матрицы к ступенчатому виду). Любую матрицу при помощиэлементарных преобразований ее строк можно привести к ступенчатому виду:0000000000001000001000000000000            1                  0 0  0 1  0 0  0 0 0       0 0  0 0 0  .00 (1.1)Здесь высота каждой «ступеньки» составляет одну строку, символом 1 (единицей) обозначены элементы матрицы, равные единице, символом  – элементы с произвольными значениями, остальные элементы матрицы – нулевые.9Алгоритм приведения матрицы к ступенчатому виду1.

В первом столбце выбрать элемент, отличный от нуля (ведущий элемент). Строку сведущим элементом (ведущая строка), если она не первая, переставить на место первойстроки (преобразование I типа). Если в первом столбце нет ведущего (все элементы равнынулю), то исключаем этот столбец, и продолжаем поиск ведущего элемента в оставшейсячасти матрицы. Преобразования заканчиваются, если исключены все столбцы или в оставшейся части матрицы все элементы нулевые.2. Разделить все элементы ведущей строки на ведущий элемент (преобразование II типа).Если ведущая строка последняя, то на этом преобразования следует закончить.3. К каждой строке, расположенной ниже ведущей, прибавить ведущую строку, умноженную соответственно на такое число, чтобы элементы, стоящие под ведущим, оказалисьравными нулю (преобразование III типа).4.

Исключив из рассмотрения строку и столбец, на пересечении которых стоит ведущийэлемент, перейти к пункту 1, в котором все описанные действия применяются к оставшейсячасти матрицы.Этот алгоритм, применяемый в дальнейшем для решения систем линейных уравнений,называют методом Гаусса.При помощи элементарных преобразований над строками, матрицу можно привести купрощенному виду:000000000000100000010000000000000    0  0    0  1    0            0  0 0  0 1  0 0  0 0 0       0 0  0 0 0  .00 (1.2)Здесь символом 1 обозначены ведущие элементы матрицы, равные единице, символом  –элементы с произвольными значениями, остальные элементы матрицы – нулевые. В отличиеот ступенчатого вида (1.1) в матрице упрощенного вида (1.2) в каждом столбце с ведущимэлементом остальные элементы равны нулю.

При решении примеров ведущие элементы матрицы будем выделять полужирным шрифтом.10Алгоритм приведения матрицы к упрощенному видуЧтобы привести матрицу к упрощенному виду, нужно выполнить те же действия, что и валгоритме приведения матрицы к ступенчатому виду, за исключение п.3, который выполняется в следующей модификации:3'. К каждой строке матрицы, кроме ведущей, прибавить ведущую строку, умноженнуюсоответственно на такое число, чтобы элементы, стоящие над ведущим или под ведущим,оказались равными нулю (преобразование III типа).Теорема (о приведении матрицы к простейшему виду).

Любую матрицу при помощиэлементарных преобразований ее строк и столбцов можно привести к простейшему виду:10000100000000E  r0O0  mnO.O (1.3)Левый верхний угол матрицы представляет собой единичную матрицу порядка r( 0  r  min{m; n} ), а остальные элементы равны нулю. Считается, что нулевая матрица ужеимеет простейший вид (при r  0 ).Алгоритм приведения матрицы к простейшему виду1.

Выбрать в матрице элемент, отличный от нуля (ведущий элемент). Строку с ведущимэлементом (ведущая строка), если она не первая, переставить на место первой строки (преобразование I типа). Столбец с ведущим элементом (ведущий столбец) переставить на местопервого. Если в матрице нет ведущего элемента (все элементы равны нулю), то преобразования заканчиваются.2. Разделить все элементы ведущей строки на ведущий элемент (преобразование II типа).3. К каждой строке, расположенной ниже ведущей, прибавить ведущую строку, умноженную соответственно на такое число, чтобы элементы, стоящие под ведущим, оказалисьравными нулю (преобразование III типа). Затем, прибавляя полученный ведущий столбец,умноженный на соответствующие числа, к остальным столбцам матрицы, делаем равныминулю все элементы ведущей строки, за исключением ведущего элемента.

Характеристики

Список файлов книги