Типовые задачи по линейной алгебре (1006509), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

Решить по правилу Крамера системы уравнений 1), 2), приведенные в таблице 13.Вар.Система 1)Система 2)1 5 x  2 y  1, 2 x  y  3. x1  3x 2  6 x3  1, 2 x1  5 x2  8 x3  2, x  2 x  x  3.23 13 5 x  2 y  1, 2 x  y  3. x1  3x2  5 x3  1, 2 x1  5 x 2  6 x3  3,  x  2 x  2 x  1.23 15  x  y  1, 3 x  4 y  2. x1  3 x2  4 x3  1, 2 x1  5 x 2  3 x3  0, x  2 x   1.127 x  y  3, 5 x  4 y  1. x1  3 x2  6 x3  1, 2 x1  5 x 2  8 x3  2,  x  2 x  3 x  1.23 19 x  5 y  1, x  4 y  3. x1  3x 2  2 x3  1,  2 x1  5 x2  2, x  4 x  7 x  2.23 111 2 x  5 y  1, x  3 y  2. x1  2 x 2  x3  2, x1  3 x 2  6 x3  1, 2 x  5 x  8 x  1.23 113 x  3 y  3, 2 x  7 y  1. x1  2 x2  2 x3  2, 2 x1  5 x 2  6 x3  1, x  3 x  5 x  1.23 115 x  2 y  2, 2 x  3 y  2. 2 x1  x 2  x3  4, x1  2 x 2  3x3  3, x  x  x  1.3 1 2Таблица 13.Система 2)Вар.Система 1)2 x  3 y  2, x  2 y  3. x1  2 x 2  5 x3  1, 2 x1  3 x2  5 x3  3, x  x  x  2.3 1 24 x  2 y  1, 2 x  3 y  4. x1  4 x 2  5 x3  3, 2 x1  7 x 2  9 x3  1, x  3 x  5 x  2.23 16 x  2 y  1, 3x  5 y  4.  x1  2 x 2  5 x3  1, 2 x1  3x 2  7 x3  2, x  x  3 x  4.1238 x  3 y  2, x  4 y  1. x1  2 x 2  3x3  1, 2 x1  3x 2  x3  2, x  x  x  3.3 1 210 x  y  2, 5 x  6 y  1. x1  4 x 2  3 x3  1, 2 x1  7 x 2  x3  1, x  3 x  3 x   1.23 112 x  2 y  1,2 x  5 y  4. x1  x 2  x3  1, 2 x1  3 x2  5 x3  2,  x  2 x  5 x  1.12314 x  4 y  1, 2 x  7 y  3. x1  3 x2  5 x3  1,  2 x1  7 x 2  9 x3  3,  x  4 x  5 x  2.12316 x  5 y  3, x  4 y  2.x1  x 2  x3  1,  2 x1  3x 2  4 x 3  2,  x  3x  6 x  1.1238617 x  y  1,5 x  6 y  3. x1  3 x2  3 x3  1, 2 x1  7 x2  x3  2,  x  4 x  3 x  3.23 1193 x  7 y  1, x  2 y  2. x1  4 x 2  3x3  1, 2 x1  7 x 2  2 x3  1, x  3 x  2 x  2.23 118 x  2 y  1,2 x  5 y  3. x1  x2  x3  2, 2 x1  3 x2  x3  1,  x  2 x  3 x  3.23 120 x  2 y  3, 2 x  3 y  2. x1  2 x 2  4 x3  0, 2 x1  3 x2  3x3  1, x  x  2 x  2.3 1 215.

Решить неоднородную систему уравнений, приведенную в таблице 15, методом Гаусса:а) получить формулы общего решения, выразив базисные переменные через свободные;б) найти частное решение;в) записать формулы общего решения соответствующей однородной системы уравнений, используя фундаментальную систему решений;г) записать общее решение неоднородной системы уравнений при помощи фундаментальной системы решений соответствующей однородной системы.Вар.Неоднородная система1x1  3 x 2  2 x3  0, x1  10 x 2  3 x3  x 4  5,4 x  19 x  9 x  x  5234 13 x1  5 x2  2 x4  8,3 x1  2 x2  x3  x4  5, 8 x  x  3x  x  734 1 25 2 x1  x2  3 x3  2 x4  2, x1  5 x2  4 x3  2 x4  3,7 x  8 x  5 x  8 x  9234 17x1  2 x2  4 x4  1,2 x1  3 x2  2 x3  9 x4   6, x  3x  2 x  3x  3234 19 x1  2 x2  2 x3  3 x4  2, 3 x1  2 x2  x3  6 x4  7,2 x  8 x  9 x  9 x  3234 1Вар.87Таблица 15.Неоднородная система2x1  4 x2  2 x3  1,4 x1  13 x2  3 x3  x4  0, x  x  3 x  x  334 1 24 x1  x2  2 x3  2 x4  1, 3 x1  x2  5 x3  7 x4  9,2 x  6 x  5 x  3 x  4234 16 x1  3 x2  2 x3  3,3 x1  2 x2  5 x3  x4  1,5 x  8 x  9 x  x  7234 18 x1  3 x2  4 x3  x4  1,3 x1  7 x2  7 x3  3 x4  0, x  5x  9 x  x  4234 1102 x1  3 x2  4 x3  2 x4  2, 5 x1  8 x2  9 x3  5 x4  4, x  x  3x  x  234 1 211x1  2 x3  x4  1,4 x1  3 x2  8 x3  x4  7, 2x  x  4x  x  334 1 213x1  3 x2  2 x3  1,8 x1  9 x2  7 x3  9 x4  5, x  8 x  5 x  3x  2234 115 x1  3 x2  3 x4  2,3 x1  7 x2  4 x3  8 x4  5,2 x2  4 x3  x4  117 x1  2 x2  x3  4 x4  3,7 x1  8 x2  3 x3  10 x4  7, 4 x  5x  x  7 x  2234 119 x1  4 x2  2 x3  2 x4  1, 2 x1  3 x2  x3  2 x4  1,3 x  17 x  9 x  8 x  4234 112 x1  2 x2  2 x3  3,3 x1  2 x2  3 x3  x4  0, 5x  6 x  7 x  x  6234 114 x1  3 x2  4 x3  2 x4  1, x1  7 x2  7 x3  5 x4  23 x  5 x  9 x  3 x  2234 116 x1  2 x2  4 x3  4 x4  1,7 x1  8 x2  7 x3  2 x4  2, 3x  4 x  5 x  2 x  0234 118x1  5 x2  2 x3  6,  2 x1  2 x2  3 x3  x4  1, 3 x  9 x  8 x  2 x  8123420 x1  2 x2  3 x3  3 x4  0,2 x1  x2  8 x3  9 x4  5, 3x  9 x  7 x  6 x  5234 116.

Решить систему уравнений, приведенную в таблице 15, при помощи элементарныхпреобразующих матриц.17. Составить:а) линейную однородную систему с минимальным количеством уравнений, решениямикоторой были бы все линейные комбинации столбцов A1 , A2 , A3 , A4 , приведенных в таблице 10, и только эти комбинации;б) линейную неоднородную систему с минимальным количеством уравнений, решениями которой были бы все аффинные комбинации столбцов A0  (1 1 1 1)T , A1 , A2 и толькоэти комбинации.18. Найти собственные значения и соответствующие собственные векторы матриц A ,B , C , приведенных в таблице 16. Можно ли при помощи преобразования подобия привестикаждую из заданных матриц к диагональному виду? Если можно, то указать диагональныйвид и соответствующую преобразующую матрицу.88Вар.ABС1 1 1  4 3 1 1  1 1 0 2 3 2 3 6 3 6 83 1 1  1  2   4 5  2 1 2 1  05  3 3 2  4 1 5 1 2 8 9 1 3  3 1 1 1  3 4  3  6 2 12 7  4 1  4 0 2  11 2  3 2 3  4 3 6   6 6  89  2 1  4  6 3 1 1 32  2 4  3 1 2  64  3 118 1   4  4 1 1   1  12 2 3 2 5 6  3 6 10 135  28  3 1 2 2 12 1  27  3 3 2  4 3 15 3  2   1 3   8  5    3  1 3 1  3 4 1  6 2 14 17 1 2 3  1 1    2 1    4  5 6  4  5  1  2   6 6  10 198  2   3 1   8 0   1  3Таблица 16.СВар.AB2  2 2  8 6 2 1 1 2 1  3 11  6 4  2 1 2 4 2 1  4 6 3  11 3   1 3  1  3 5  13 3 1 6  3 1  4 11  11 1  2 2 3  2 3 6   3 6  88 2 3 12  10  1 2   2  11  2 44  6 9  3 1 3 10  3 1  4  7 1  33 1 3 1  05  2 2 2  6 1 12  2 2   2 1    8 6   1  21  3 33  6 4  2 1 4 14 7  2    3 1  8  1   1  33 1  27  2 2 2  6 3 16 2  2    1  1  8  6   1  1 0 2 3  2 5 6   3 6  10 186 1   4  21  22 1 1  2 22  6 9  3 1 1 20 9  2   1  3  8 1   3 123 256  2  3  6  82  2 23 3 2  64  5 8919.

Квадратичные формы 1), 2), указанные в таблице 17, привести к каноническому виду: форму 1) – методом Лагранжа; форму 2) – методом Якоби. Указать соответствующие замены переменных. Вычислить ранг, положительный и отрицательный индексы, сигнатуру идискриминант каждой квадратичной формы.Таблица 17.Квадратичная форма 2)Вар.Квадратичная форма 1)1x12  4 x22  x32  4 x1x2  2 x1x3  2 x2 x3x12  x22  4 x32  2 x1x2  4 x1x3  4 x2 x32x1x2  4 x1x3  2 x2 x3x12  x22  x32  4 x1x2  2 x1x3  4 x2 x332 x12  18 x22  2 x32  12 x1x2  4 x1x3  13x2 x3 x12  x22  4 x32  2 x1x2  4 x1x3  4 x2 x34x1x2  4 x1x3  3 x2 x3 x12  x22  x32  4 x1x2  4 x1x3  2 x2 x354 x12  x22  9 x32  4 x1x2  12 x1x3  5 x2 x3x12  4 x 22  4 x32  4 x1 x 2  4 x1 x 3  8 x 2 x 36x1x2  3 x1x3  2 x2 x3x12  4 x22  x32  4 x1x2  2 x1x3  4 x2 x3712 x12  3x22  3 x32  12 x1x2  12 x1x3  7 x2 x3x12  3x22  x32  4 x1x2  2 x1x3  4 x2 x38x1x2  2 x1x3  3 x2 x3x12  3x22  5 x32  4 x1x2  4 x1x3  2 x2 x392 x12  18 x22  8 x32  12 x1x2  8 x1x3  23x2 x3 x12  x22  x32  4 x1x2  4 x1x3  2 x2 x310x1x2  4 x1x3  3 x2 x3 x12  4 x22  x32  8 x1x2  4 x1x3  4 x2 x3114 x12  x22  x32  4 x1x2  4 x1x3  x2 x3x12  4 x22  x32  4 x1x2  2 x1x3  4 x2 x312x1x2  3 x1x3  2 x2 x3x12  3x22  x32  4 x1x2  2 x1x3  4 x2 x3139 x12  4 x22  x32  12 x1x2  6 x1x3  5 x2 x3x12  5 x22  3x32  4 x1x2  4 x1x3  2 x2 x314x1x2  2 x1x3  3 x2 x3 x12  x22  x32  4 x1x2  4 x1x3  2 x2 x3153x12  12 x22  12 x32  12 x1x2  12 x1x3  23x2 x3x12  4 x22  9 x32  4 x1x2  6 x1x3  12 x2 x316x1x2  4 x1x3  3 x2 x3x12  3x22  x32  4 x1x2  2 x1x3  4 x2 x3172 x12  2 x22  18 x32  4 x1x2  12 x1x3  11x2 x3x12  5 x22  3x32  4 x1x2  4 x1x3  2 x2 x318x1x2  3 x1x3  2 x2 x3 x12  x22  x32  4 x1x2  4 x1x3  2 x2 x3198 x12  18 x22  2 x32  24 x1x2  8 x1x3  13x2 x3 x12  4 x22  x32  8 x1x2  4 x1x3  4 x2 x320x1x2  2 x1x3  3 x2 x3 x12  x22  4 x32  4 x1x2  8 x1x3  4 x2 x39020.

Используя критерий Сильвестра, определить, при каких значениях a квадратичнаяформа, приведенная в таблице 18, положительно определена.Таблица 18.Квадратичная формаВар.Квадратичная формаВар.1ax 2  3 y 2  z 2  2axy  2axz  2 yz23 x 2  ay 2  6 z 2  2axy  4 xz  2ayz3ax 2  4 y 2  10 z 2  2axy  2axz  4 yz42 x 2  ay 2  6 z 2  2axy  6 xz  2ayz5ax 2  6 y 2  z 2  2axy  2axz  4 yz63 x 2  ay 2  3 z 2  2axy  2 xz  2ayz7ax 2  y 2  5 z 2  2axy  2axz  4 yz86 x 2  ay 2  6 z 2  2axy  6 xz  2ayz9ax 2  2 y 2  9 z 2  2axy  2axz  8 yz106 x 2  ay 2  4 z 2  2axy  8 xz  2ayz11ax 2  4 y 2  5 z 2  2axy  2axz  2 yz124 x 2  ay 2  7 z 2  2axy  2 xz  2ayz13ax 2  y 2  11z 2  2axy  2axz  6 yz143 x 2  ay 2  18 z 2  2axy  4 xz  2ayz15ax 2  4 y 2  10 z 2  2axy  2axz  6 yz163 x 2  ay 2  6 z 2  2axy  8 xz  2ayz17ax 2  6 y 2  3 z 2  2axy  2axz  8 yz183 x 2  ay 2  11z 2  2axy  2 xz  2ayz19ax 2  2 y 2  z 2  2axy  2axz  2 yz203x 2  ay 2  2 z 2  2axy  4 xz  2ayzЛИТЕРАТУРА1.

Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – М.: Наука, 1984.2. Бортаковский А.С., Пантелеев А.В. Линейная алгебра в примерах и задачах. – 2-е изд. – М.:Высшая школа, 2010.3. Бортаковский А.С., Пантелеев А.В. Практикум по линейной алгебре и аналитической геометрии//Учебное пособие. – М.: Высшая школа, 2007.4. Бортаковский А.С., Пантелеев А.В. Практический курс линейной алгебры и аналитической геометрии: учеб. пособ.

с мультимедиа сопровождением. – М.: Университетская книга; Логос, 2008.5. Икрамов Х.Д. Задачник по линейной алгебре. – М.: Наука, 1975.6. Ильин В.А., Ким Г.Д. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: Учебник. – М.: Изд-во Моск.ун-та, 1998.7. Ким Г.Д., Крицков Л.В. Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Часть 1.8. Ким Г.Д., Крицков Л.В. Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том II, часть 2.

–М.: ИКД "Зеркало-М, 2003.9. Прасолов В.В. Задачи и теоремы линейной алгебры. – М.: Наука, 1996.10. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. – М.: Наука, 1978.11. Сборник задач по математике для втузов. Линейная алгебра и основы математического анализа/Под ред. А.В. Ефимова, Б.П. Демидовича. – М.: Наука, 1981.91Учебное изданиеБортаковский Александр СергеевичПегачкова Елена АлександровнаТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ. Часть 1Корректура: Яковлева С.Ю.Издательство «Доброе слово»www.dobroeslovo.infoПодписано в печать: 5.09.2013П.л.

11,5. Формат 60х90/8Тираж 50 экз..

Характеристики

Список файлов книги