Типовые задачи по линейной алгебре (1006509), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

Выберем в качестве ведущегоэлемента a11  1  0 (выделен полужирным шрифтом), тогда первая строка будет ведущей.Ко второй строке прибавим первую, умноженную на (  2 ), к четвертой строке – первую, умноженную на (  1 ):12( A E)  010 2 47 311 1 14 201000010000100 1 0 0~0 0 1   00 2 417 7 7 21 1 1 04 4  4 10100001000.01 Исключаем из рассмотрения первую строку и первый столбец. Выбираем в качестве ведущего элемент a32  1  0 .

Меняем местами вторую и третью строки:10( A E) ~ 000 2 417 7 7 21 1 1 04 4  4 1010000100  1 0  0~0  0 1   00 2 411 1 1 07 7 7 24 4  4 10010010000.01 Теперь ведущий элемент – a22  1 , а ведущая строка – вторая. К третьей строке прибавляемвторую, умноженную на (–7), к четвертой строке – вторую, умноженную на (–4):10( A E) ~ 000 2 411 1 1 07 7 7 24 4  4 1001001000 1 0 0~0 0 1   0540 2 411 1 1 00 00 20 00 10 00 11 70 400.01 В результате преобразований матрица A приведена к ступенчатому виду, а из единичнойматрицы получилась матрица 1 0S 2 10 00 11 70 400.01 Попутно найден ранг r  2 матрицы A , равный количеству ненулевых строк матрицы ступенчатого вида.3. Так как r  2  4  n , то составляем матрицу   (O En  r ) Sиз последнихn  r  4  2  2 строк матрицы S : 10 0 1 0 0   (O En  r ) S  0 0 0 1  2 10 00 11 70 400   2 1  7 0.0    1 0  4 1 1 Записываем искомую однородную систему (5.17)xo 2 x1  x2  7 x3  0 ,  x1  4 x3  x4  0 ,2 x1  x2  7 x3  0 , x1  4 x3  x4  0 .Выполняем п.

б) з а д а н и я , применяя алгоритм составления неоднородной системыс заданным множеством решений. Для двух столбцов A1  A0 , A2  A0 делаем первые трипункта алгоритма составления однородной системы.1. Составляем матрицу A   A1  A0A2  A0  , а затем – блочную матрицу1  28 3( A E)  1 0 2510000100001000.01 2. При помощи элементарных преобразований, выполняемых над строками матрицы( A E ) , приводим ее левый блок A к ступенчатому виду.

Выберем в качестве ведущегоэлемента a11  1  0 (выделен полужирным шрифтом), тогда первая строка будет ведущей.Ко второй строке прибавим первую, умноженную на 3, к третьей – первую, умноженную на(–1), к четвертой строке – первую, умноженную на 2:1  28 3( A E)  1 0 251000010000100   1  2 1 0  023~002 1 1  012550100001000.01 Исключаем из рассмотрения первую строку и первый столбец.

Выбираем в качестве ведущего элемент a42  1  0 . Меняем местами вторую и четвертую строки:1  2 123 0( A E) ~ 02 1 012010000100   1  2 1 0  012~002 1 1   0230001001001.00 Теперь ведущий элемент a22  1  0 , а ведущая строка – вторая. К третьей и четвертой строкам прибавим вторую, умноженную на (–2):1  2 112 0( A E) ~ 02 1 023000100100   1  2 1 1  012~0  00 5 0  00 100010 0 0 1 .1  20  2 В результате преобразований матрица A приведена к ступенчатому виду, найден ее рангr  2 , а из единичной матрицы получилась матрица 1 2S 5 100010 0 0 1 .1  20  2 3. Так как r  2  4  n , то составляем матрицу   (O En  r ) Sиз последнихn  r  4  2  2 строк матрицы S : 10 0 1 0 2   (O En  r ) S  0 0 0 1  5 100010 0 0 1    5 0 1  2.1  2    1 1 0  2 0  2 4.

Вычисляем столбец свободных членов b   A0 :2   5 0 1  2    1   7      b    1 1 0  2 1   1   1 и записываем искомую неоднородную систему (5.18):xb 5 x1  x3  2 x4  7 ,  x1  x2  2 x4  12 x  x  7 x3  0 ,5 x  x  2 x4  7 ,Ответ: а)  1 2б)  1 3 x1  x2  2 x4  1. x1  4 x3  x4  0 ;565 x1  x3  2 x4  7 , x1  x2  2 x4  1.6. СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ МАТРИЦ x1  Пусть A – квадратная матрица n -го порядка.

Ненулевой столбец x     , удовлетвоx  nряющий условиюAx   x,(6.1)называется собственным вектором матрицы A . Число  в равенстве (6.1) называется собственным значением матрицы A . Говорят, что собственный вектор x соответствует(принадлежит) собственному значению  .Поставим задачу нахождения собственных значений и собственных векторов матрицы.Определение (6.1) можно записать в виде A  E  x  o ,где E – единичная матрица n -го порядка. Таким образом, условие (6.1) представляет собойоднородную системуnлинейных алгебраических уравнений сnнеизвестнымиx1 , x2 ,…, xn : a11    x1  a12 x2    a1n xn  0 , a x  a    x    a x  0 , 21 12222n n an1 x1  an 2 x2    ann    xn  0 .(6.2)Поскольку нас интересуют только нетривиальные решения ( x  o ) однородной системы,то определитель матрицы системы должен быть равен нулю:a11  a12a21a22  det  A  E  an1an 2a1na2 n0. ann  (6.3)В противном случае по правилу Крамера система имеет единственное тривиальное решение.Таким образом, задача нахождения собственных значений матрицы свелась к решению уравнения (6.3), которое называется характеристическим уравнением матрицы A .

Левая частьуравнения (6.3) представляет собой многочлен степени n переменной  : A    det  A  E  .Этот многочлен называется характеристическим многочленом матрицы A . Согласно основной теореме алгебры, характеристический многочлен можно представить в виде57 A    det  A  E   an   1 n1    2 n2  ...     k nk ,где 1 ,  2 ,…,  k – корни многочлена кратности n1 , n2 ,…, nk соответственно, причемn1  n2  ...  nk  n .

Другими словами, характеристический многочлен имеет n корней, есликаждый корень считать столько раз, какова его кратность.Теорема (о собственных значениях матрицы). Корни характеристического многочлена (характеристического уравнения (6.3)) и только они являются собственными значениямиматрицы.По основной теореме алгебры характеристическое уравнение имеет n в общем случаекомплексных корней (с учетом их кратностей).

Поэтому собственные значения и собственные векторы имеются у любой квадратной матрицы. Причем собственные значения матрицыопределяются однозначно (с учетом их кратности), а собственные векторы – неоднозначно.Совокупность всех собственных значений матрицы (с учетом их кратностей) называют ееспектром. Спектр матрицы называется простым, если собственные значения матрицы попарно различные (все корни характеристического уравнения простые).Свойства собственных векторов1.

Собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям, линейно независимы.2. Ненулевая линейная комбинация собственных векторов, соответствующих одномусобственному значению, является собственным вектором, соответствующим тому жесобственному значению.3. Чтобы из множества собственных векторов выделить максимальную линейно независимую систему собственных векторов, нужно для всех различных собственных значений1 ,…,  k записать одну за другой системы линейно независимых собственных векторов, вчастности, одну за другой фундаментальные системы решений однородных системA  1E  x  o , A   2 E  x  o ,…, A   k E  x  o .Алгоритм нахождения собственных векторов и собственныхзначений матрицы1.

Составить характеристический многочлен матрицы A    det  A  E  .2. Найти все различные корни 1 ,…,  k характеристического уравнения  A    0 .583. Для корня   1 найти фундаментальную систему 1 , 2 ,…, n r решений однородной системы уравненийA  1E  x  o ,где r  rg  A  1E  .4. Записать линейно независимые собственные векторы матрицы A , отвечающие собственному значению 1 :s1  C11 , s2  C22 ,…, sn  r  Cn  r n  r ,(6.4)где С1 , C2 ,…, Cn  r – отличные от нуля произвольные постоянные. Совокупность всех собственных векторов, отвечающих собственному значению 1 , образуют ненулевые столбцывида s  C11  C2 2  ...  Cn  r n  r .

Здесь и далее собственные векторы матрицы будем обозначать буквой s .Повторить п.3, 4 для остальных собственных значений  2 ,…,  k .Приведение матрицы к диагональному видуКвадратные матрицы A и B n -го порядка называются подобными, если существует такая невырожденная матрица S det S  0 , чтоB  S 1 A S .Преобразование матрицы A по формуле S 1 AS называется преобразованием подобия,а матрица S – преобразующей.Рассмотрим задачу приведения квадратной матрицы к диагональному виду при помощи преобразования подобия.

Для квадратной матрицы A требуется найти подобную диагональную матрицу   diag 1,  2 ,...,  n  и преобразующую матрицу S (   S 1 A S ).Теорема (о приведении матрицы к диагональному виду). Для того чтобы квадратная матрица A n -го порядка приводилась к диагональному виду   S 1 A S , необходимо идостаточно, чтобы она имела n линейно независимых собственных векторов.Следствие. Если матрица имеет простой спектр, то она приводится к диагональномувиду.Диагональный вид   diag 1,  2 ,...,  n  матрицы A и преобразующую матрицу S получаем, применяя следующий алгоритм.59Алгоритм приведения квадратной матрицы к диагональному виду1-4. Находим собственные векторы и собственные значения матрицы A (выполняя п.1–4соответствующего алгоритма).5.

Характеристики

Список файлов книги