Типовые задачи по линейной алгебре (1006509), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

Тогда однородная система имеет бесконечно много решений.Заметим, что расширенная матрица  A o  однородной системы при элементарных преобразованиях строк приводится к упрощенному виду  A o  , т.е. b1  b2  ...  br  0 в (5.9).Поэтому из (5.10) находим общее решение однородной системы: x   a x  ...  a x ,1 r 1 r 11n n 1 x   ar r 1xr 1  ...

 ar n xn . r(5.12)Получим другую форму записи решений однородной системы. Для этого по формулам(5.12)общегорешенияоднороднойсистемынайдем(n  r )частныхрешений1 , 2 ,…, n r , придавая свободным переменным следующие стандартные наборы значе-ний (всякий раз полагая, что одна из свободных переменных равна единице, а остальныеравны нулю):421) xr 1  1 , xr  2  0 ,…, xn  0 :1   a1 r 1   ar r 1 1 0  0 T ;2) xr 1  0 , xr  2  1 ,…, xn  0 :2   a1 r  2   ar r  20 1  0 T;…n  r ) xr 1  0 , xr  2  0 ,…, xn  1 : n  r   a1 n   ar n0 0  1 T.В результате получается (n  r ) решений:  a1 r 1   a1 r  2   a1 n       a  a  a  r r 1  r r 2  r n1   1  , 2   0  ,…, n  r   0  , 0  1  0      0  0  1 которые линейно независимы [4].Любая совокупность (n  r ) линейно независимых решений 1 , 2 ,…, n r однороднойсистемы называется фундаментальной системой (совокупностью) решений.

Заметим, чтофундаментальная система решений определяется неоднозначно. Однородная система можетиметь разные фундаментальные системы решений, состоящие из одного и того же количества (n  r ) линейно независимых решений.Теорема (об общем решении однородной системы). Если 1 , 2 ,…, n r – фундаментальная система решений однородной системы уравнений (5.4), то столбецx  C1 1  C2 2    Cn  r n  r(5.13)при любых значениях произвольных постоянных C1 , C2 ,…, Cn  r также является решением системы (5.4), и, наоборот, для каждого решения x этой системы найдутся такие значения произвольных постоянных C1 , C2 ,…, Cn  r , при которых это решение x удовлетворяет равенству (5.13).Матрица   (1 2  n r ) , столбцы которой образуют фундаментальную систему решений однородной системы, называется фундаментальной.

Используя фундаментальную матрицу, общее решение (5.13) однородной системы можно записать в видеx  c ,где c  (C1  Cn  r )T – столбец произвольных постоянных.43(5.14)Алгоритм решения однородной системы1–5. Выполнить первые 5 пунктов алгоритма Гаусса. При этом не требуется выяснятьсовместность системы, так как любая однородная система имеет решение (п.3 метода Гауссаследует пропустить).

Получить формулы (5.10) общего решения, которые для однороднойсистемы будут иметь вид (5.12).Если ранг r матрицы системы равен числу n неизвестных ( r  rg A  n ), то системаимеет единственное тривиальное решение x  o и процесс решения заканчивается.Если ранг матрицы системы меньше числа неизвестных ( rg A  n ), то система имеетбесконечно много решений. Множество решений находим в следующих пунктах алгоритма.6. Найти фундаментальную систему 1 , 2 ,…, n r решений однородной системы. Дляэтого подставить в (5.12) последовательно (n  r ) стандартных наборов значений свободныхпеременных, в которых все свободные переменные равны нулю, кроме одной, равной единице.7. Записать общее решение однородной системы по формуле (5.13).Заметим, что в п.6 алгоритма вместо стандартного набора значений свободных переменных можно использовать и другие наборы значений, лишь бы они обеспечивали линейнуюнезависимость получаемых частных решений однородной системы.Общее решение неоднородной системы можно представить при помощи фундаментальной системы решений.Теорема (об общем решении неоднородной системы).

Пусть x н – решение неоднородной системы, а 1 , 2 ,…, n r – фундаментальная система решений соответствующейоднородной системы уравнений. Тогда столбецx  xн  C1 1  C2 2    Cn  r n  r(5.15)при любых значениях произвольных постоянных C1 , C2 ,…, Cn  r является решением неоднородной системы, и, наоборот, для каждого решения x этой системы найдутся такиезначения произвольных постоянных C1 , C2 ,…, Cn  r , при которых это решение x удовлетворяет равенству (5.15).Общее решение неоднородной системы есть сумма частного решения неоднороднойсистемы и общего решения соответствующей однородной системы:xxн C1 1  C2 2    Cn  r n  r .частное решениенеоднородной системыобщее решение однородной системы44Алгоритм решения неоднородной системы1–5.

Выполнить первые пять пунктов метода Гаусса решения системы уравнений и получить формулу общего решения неоднородной системы вида (5.10).6. Найти частное решение x н неоднородной системы, положив в (5.10) все свободныепеременные равными нулю.7. Записав формулы (5.12) общего решения соответствующей однородной системы, составить фундаментальную систему 1 , 2 ,…, n r ее решений.8. Записать общее решение неоднородной системы по формуле (5.15).Заметим, что, используя фундаментальную матрицу  однородной системы Ax  o ,решение неоднородной системы Ax  b можно представить в видеx  xн   c ,где x н – частное решение неоднородной системы;(5.16)c  (C1  Cn  r )T – столбец произ-вольных постоянных.Решение системы линейных уравнений с применениемэлементарных преобразующих матрицНахождение решения системы (5.3) в виде (5.16) сводится к следующим действиям (рассматривается случай, когда матрица системы ненулевая):1.

Привести матрицу A системы (5.3) к простейшему виду (см. разд. 1):   SAT , гдеE   rOO – матрица тех же размеров m  n , что и A . При этом находятся элементарныеO преобразующие матрицы S и T , порядков m и n , соответственно, а также ранг r  rg A  1 .2. Проверить условие совместности системы. При r  m система совместна. Если r  m ,то составить матрицу   O Em r S из последних m  r строк матрицы S и проверитьусловие  b  o . Если условие выполняется, то система совместна. В противном случае система несовместна и процесс решения заканчивается.3.

Найти частное решение неоднородной системы по формуле x н  T T S b . Если r  n ,то система имеет единственное решение x  x н и процесс решения заканчивается. O  из последних n  r столбцов мат4. Составить фундаментальную матрицу   T  En r рицы T .5. Записать общее решение системы (5.3) в виде (5.16).45Свойства решений системы линейных уравнений1. Если столбцы 1 , 2 ,…, k – решения однородной системы уравнений, то любая ихлинейная комбинация 1 1   2 2  ...

  k k также является решением однородной системы.2. Если столбцы 1 , 2 ,…, k – решения неоднородной системы уравнений, то любая ихаффинная комбинация 1 1   2 2  ...   k k ( 1  ...   k  1 ) также является решением неоднородной системы.Напомним, что аффинной комбинацией столбцов называется такая их линейная комбинация, сумма коэффициентов которой равна единице.Алгоритм составления однородной системы с заданным множеством решенийЧтобы составить линейную однородную систему с минимальным числом уравнений,решениями которой были все линейные комбинации столбцов A1 , A2 …, Ak (одинаковых размеров n  1 ) и только они, нужно выполнить следующие действия.1.

Составить из заданных столбцов матрицу A  ( A1  Ak ) , а затем – блочную матрицу ( A E ) , приписав матрице A единичную матрицу порядка n .2. При помощи элементарных преобразований, выполняемых над строками матрицы( A E ) , привести ее левый блок A к ступенчатому виду Aст (см. разд.1). При этом блочнаяматрица приводится к виду ( AстS ) , где S – квадратная матрица, полученная в результатепреобразований из единичной.

Попутно определяем ранг r матрицы A , который равен количеству ненулевых строк матрицы Aст .3. Если r  n , то составить матрицу   (O En  r ) S из последних n  r строк матрицы S . Искомая однородная система имеет видxo.(5.17)Если r  n , то искомая однородная система имеет вид (5.17) с матрицей   oT , т.е.0 x1  0 x2  ...  0 xn  0 .Применяя этот алгоритм, получаем одну из возможных однородных систем, обладающих указанным свойством: все линейные комбинации данных столбцов и только они являются решениями системы. Однако, систем с меньшим числом уравнений, чем у составленнойпо алгоритму, не существует.46Алгоритм составления неоднородной системы с заданным множеством решенийЧтобы составить линейную неоднородную систему с минимальным числом уравнений,решениями которой были все аффинные комбинации столбцов A0 , A1,..., Ak (одинаковыхразмеров n  1 ) и только они, нужно выполнить следующие действия.1–3.

Выполнить три пункта алгоритма составления однородной системы с заданнымирешениями для столбцов A1  A0 , A2  A0 ,..., Ak  A0 и получить матрицу  .4. Вычислить столбец b   A0 и записать искомую неоднородную систему x  b.(5.18)Применяя этот алгоритм, составляем одну из возможных однородных систем, обладающих указанным свойством: все аффинные комбинации данных столбцов и только они являются решениями системы. Однако, систем с меньшим числом уравнений, чем у составленнойпо алгоритму, не существует.Пример 14.

Характеристики

Список файлов книги