Типовые задачи по линейной алгебре (1006509), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

  k  0 , т.е. когда линейная комбинация в левой части (3.1) тривиальная. Один столбец A1 тоже образует систему: при A1  o – линейно зависимую, а при A1  o линейно независимую. Аналогичные определения формулируются и длястрок (матриц-строк).Свойства линейно зависимых и линейно независимых столбцов1. Если в систему столбцов входит нулевой столбец, то она линейно зависима.2. Если в системе столбцов имеются два равных столбца, то она линейно зависима.3. Если в системе столбцов имеются два пропорциональных столбца ( Ai  A j ), то оналинейно зависима.4.

Система из k  1 столбцов линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя быодин из столбцов есть линейная комбинация остальных.5. Любые столбцы, входящие в линейно независимую систему, образуют линейно независимую подсистему.6. Система столбцов, содержащая линейно зависимую подсистему, линейно зависима.247. Если система столбцов A1 , A2 ,…, Ak – линейно независима, а после присоединения кней столбца A – оказывается линейно зависимой, то столбец A можно разложить постолбцам A1 , A2 ,…, Ak , и притом единственным образом, т.е. коэффициенты разложениянаходятся однозначно.Поскольку понятия линейной зависимости и линейной независимости определяются длястрок и столбцов одинаково, то свойства, связанные с этими понятиями, справедливые длястолбцов, выполняются и для строк.Минором k -го порядка матрицы A называется определитель матрицы k -го порядка,образованной элементами, стоящими на пересечении произвольно выбранных k строк и kстолбцов матрицы A .

Обозначая миноры, номера выбранных строк будем указывать верхними индексами, а выбранных столбцов – нижними, располагая их по возрастанию.В матрице A размеров m  n минор r -го порядка называется базисным, если он отличен от нуля, а все миноры r  1 -го порядка равны нулю или их вообще не существует.Рангом матрицы называется порядок базисного минора. В нулевой матрице базисногоминора нет. Поэтому ранг нулевой матрицы, по определению, полагают равным нулю.

Рангматрицы A обозначается rg A .Столбцы, в которых расположен базисный минор, называются базисными. Базисныестолбцы линейно независимы.Алгоритм нахождения ранга матрицы методом окаймляющих миноровi1. Выбираем строку i1 и столбец j1 так, чтобы минор 1-го порядка M j1  ai j был не1 11равен нулю. Если это возможно, то rg A  1 , иначе процесс завершается и rg A  0 .i2. Окаймляем минор M j1  0 , добавляя к выбранным i1 -й строке и j1 -му столбцу еще1ai jiiстроку i2  i1 и столбец j2  j1 так, чтобы минор M j1 2j  1 1ai j1 22 1ai j1 2  0 .

Если это возai j2 2можно, то rg A  2 , иначе процесс завершается и rg A  1 .ii3. Окаймляем минор M j1 2j  0 , добавляя к выбранным ранее строкам и столбцам новую1 2ii iстроку i3 и новый столбец j3 так, чтобы получить минор M j1 2j 3j  0 . Если это удалось, то1 2 3rg A  3 , иначе процесс завершается и rg A  2 .25Продолжаем процесс окаймления, пока он не завершится. Пусть найден минор r -го поi i ...iрядка M j1 2j ...rj  0 , т.е. rg A  r . Однако все миноры r  1 -го порядка, окаймляющие его,1 2ri i ...i iравны нулю M j1 2j ...rj r j1  0 или не существуют (при r  m или r  n ).

Тогда процесс за1 2r r 1вершается и rg A  r .Алгоритм нахождения ранга матрицы при помощи элементарных преобразований1. Привести матрицу к ступенчатому виду (1.1) (см. алгоритм в разд. 1).2. В полученной матрице вычислить количество r ненулевых строк. Это число равнорангу данной матрицы.Если матрица приводится к ступенчатому виду, только при помощи элементарных преобразований ее строк, то базисные столбцы исходной матрицы и ее ступенчатого вида совпадают по номерам. В матрице ступенчатого вида (1.1) базисный минор образуют столбцы,содержащие ведущие элементы (отмеченные символом 1 в (1.1)).Ранг системы столбцов (строк)Пусть дана система столбцов A1 , A2 ,…, An размеров m  1 .

Рангом системы столбцовназывается максимальное число линейно независимых столбцов этой системы и обозначается rg  A1, A2 ,..., An  . Максимальной линейно независимой подсистемой столбцов (или базой системы столбцов [4]) называется линейно независимая подсистема, состоящая изrg  A1, A2 ,..., An  столбцов. Максимальность здесь понимается в том смысле, что любое боль-шее количество столбцов данной системы образует линейно зависимую подсистему.

Столбцы, входящие в базу, называются базисными, а остальные – небазисными. Рангом системыстрок A1 , A2 ,…, An размеров 1 m называется максимальное число линейно независимыхстрок этой системы.Алгоритм нахождения базы системы столбцов1. Составить из данных столбцов матрицу A  A1, A2 ,..., An  размеров m  n .2. Привести матрицу к ступенчатому виду при помощи элементарных преобразованийстрок.3. Найти базисные столбцы в матрице ступенчатого вида (это столбцы с ведущими элементами). Столбцы матрицы A с такими же номерами, как и базисные в матрице ступенчатого вида, являются базисными в матрице A и образуют базу данной системы столбцов.У системы столбцов может быть несколько максимальных линейно независимых подсистем, но все они состоят из одинакового количества столбцов.26Теорема (о разложении столбцов данной системы по ее базе). Любой столбец даннойсистемы разлагается по ее базе единственным образом.Пусть, например, первые r столбцов образуют базу системы столбцов A1 , A2 ,…, An .

Тогда любой столбец Ai ( i  1,, n ) можно представить в виде линейной комбинации базисныхстолбцовAi  i1 A1    ir Ar ,(3.2)причем коэффициенты разложения (3.2) определяются однозначно. Заметим, что для базисных столбцов A1 ,…, Ar разложение (3.2) тривиально. Например, A1  1  A1  0  A2   0  Ar .Поэтому разлагают, обычно, только небазисные столбцы Ar 1 ,…, An .Алгоритм разложения столбцов данной системы по ее базе1. Из данных столбцов A1 ,…, An составить блочную матрицу ( AT a) , левый блок ATкоторой образуют строки A1T ,…, AnT , а правый столбец a  (a1  an )T – символы a1 ,…, an ,обозначающие строки матрицы AT .2.

При помощи элементарных преобразований II и III типа, выполняемых над строкамиматрицы ( AT a) , привести ее левый блок AT к ступенчатому виду, при этом последние n  rстрок в левом блоке окажутся нулевыми.3. Каждое из последних n  r выражений, полученных в правом столбце блочной матрицы, приравнять нулевой строке oT  (0  0) . Транспонировать обе части каждого равенства, учитывая, что aiT  Ai .

Выразить из полученных уравнений небазисные столбцы черезбазисные.Если базу системы образуют не первые r столбцов, то перед выполнением п.2 алгоритма нужно так переставить строки матрицы ( AT a) , соответствующие базисным столбцам,чтобы они оказались первыми.1 1 2 1 11Пример 10. Вычислить ранги матриц А   2 1 1 1  , В  1 3 3 2 312 11 11 12 12112 двумя способами: а) методом окаймляющих миноров, б) приводя матрицы к ступенчатомувиду.27 1 2 1 1Решение. М а т р и ц а A .

Вычислим ранг матрицы А   2 1 1 1  методом окайм 3 3 2 3ляющих миноров (п. а) з а д а н и я ).1. Выбираем первую строку ( i1  1 ) и первый столбец ( j1  1 ) матрицы A , на пересечении которых стоит ненулевой элемент a11  1  0 . Получаем отличный от нуля минор первого порядка M11  1  0 . Следовательно, rg A  1 .2. Добавляем к выбранным строке и столбцу еще одну строку i2  2 и еще один столбец1 2j2  2 .

Получаем отличный от нуля минор второго порядка M11 22   3  0 . Следо2 1вательно, rg A  2 .3. Добавляем к выбранным строкам и столбцам еще одну строку i3  3 и еще один столбец j3  3 . Получаем минор третьего порядка1 2 123M11 23 21 1  2 6  6 338  0.3 3 2Выбор оказался неудачным, так как получили нулевой минор. Вместо третьего столбцавозьмем четвертый.

Получаем отличный от нуля минор третьего порядка1 2 123M11 24 21 1  3  6  6  3  3  12  3  0 .3 3 3Следовательно, rg A  3 .234. Поскольку исчерпаны все строки матрицы A , то миноров, окаймляющих M11 24, нет.Следовательно, rg A  3 .Найдем ранг матрицы А при помощи элементарных преобразований (п. б) з а д а н и я ).1. Приводим матрицу A к ступенчатому виду (ведущие элементы выделены полужирным шрифтом)1 1  1 21 1 1 2 1 1  1 2  A   2 1 1 1  ~  0  3  1  1 ~  0  3  1  1 . 3 3 2 3  0  3  1 0   0 00 1   2.

В этой матрице три ненулевые строки. Следовательно, rg A  3 .2811М а т р и ц а B . Вычислим ранг матрицы В  112 11 11 12 121методом окаймляющих12 миноров (п. а) з а д а н и я ).1. Выбираем первую строку ( i1  1 ) и первый столбец ( j1  1 ) матрицы В , на пересечении которых стоит ненулевой элемент b11  1  0 . Получаем ненулевой минор M11  1  0первого порядка. Следовательно, rg B  1 .2. Добавляем к выбранным строке и столбцу еще одну строку i2  2 и еще один столбец1 2j2  2 . Получаем отличный от нуля минор второго порядка M11 22   1  0 . Следова1 1тельно, rg B  2 .3.

Добавляем к выбранным строкам и столбцам еще одну строку i3  3 и еще один столбец j3  3 . Получаем минор третьего порядка12123M11 23 1 1 1  1  2  1  1  1  2  0 .1 1 1Выбор оказался неудачным, так как получили нулевой минор. Вычислим остальные минорытретьего порядка, окаймляющие минор M11 22 :123M11 242 21 1 1 0,1 1 11 2 124M11 23 11 1  0,1 2 11 2 224M11 24 11 1 0.1 2 2Все они оказались равными нулю. Следовательно, нельзя найти отличный от нуля окаймляющий минор третьего порядка. Поэтому ранг матрицы В равен 2.Найдем ранг матрицы В при помощи элементарных преобразований (п.

б) з а д а н и я ).1. Приводим матрицу В к ступенчатому виду (ведущие элементы выделены полужирным шрифтом):11B112 11 11 12 12 1 2 1 0  1~1 0 3 2   0 01 2  1 2 0  1  0  1~0 3  0 0 0 0   0 01 20  1.0 00 0 2. В этой матрице две ненулевые строки. Следовательно, rg B  2 .Ответ: rg A  3 , rg B  2 .29Пример 11. Найти максимальную линейно независимую подсистему системы столбцов 1  2   1 1   4      0  0 2 6 2 A1    , A2    , A3    , A4    , A5    .24046      2   4  1 7  5      Остальные столбцы представить в виде линейной комбинации столбцов из этой подсистемы.Решение.

Характеристики

Список файлов книги