Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия. Под ред. В.С.Зарубина, А.П.Крищенко (2-е изд., 2000) (1004035), страница 48
Текст из файла (страница 48)
В зависимости от знаков козффициентов в (12.20), зто могут быть уравнения или эллиотиического вараболоида (х — хо) (у — уо) 2 + ь2 = 2р('- '0) а2 Ь2 (12.21) илн гиперболического параболоида (х — хо)2 (у уе)2 а2 Ь2 = 2р(г — го), (х — хо) (у — уо) а2 Ь2 (12.22) в [1Ч]. 3.
В третьем варианте уравнение (12.14) содержит квадрат только одного переменного. Здесь также возникают три симметричных подвариаита (квадрат х, квадрат у, квадрат 2). Остановимся на случае А ~ О. Если уравнение не содержит или слагаемого с у в первой степени, или такого же слагаемого с х, то реализуется случай цилиндра второго порядка, который сводится к исследованию направляющей цилиндра. Если же в уравнении присутствуют оба указанных слагаемых первой степени, как, например, в уравнении хз+ у+ 22 = О, то приведение уравнения к каноническому виду требует поворота системы координат в пространстве.
Анализ таких уравнений приведен И.8. Иепояные урапнення поперхноетн пторого порядка 361 Пример 12.2. Упростим уравнение 4х +9у~+36г~ — 8х — 36у+72г+40 = 0 поверхности второго порядка с помощью параллельного переноса прямоугольной системы координат. Уравнение содержит каждое из трех переменных в первой и во второй степени. Поэтому по каждому переменному выделяем полный квадрат: 4(х — 2х+1 — 1)+ + 9(у — 4у+ 4 — 4) + 36(г~ + 2г+ 1 — 1) + 40 = О, 4(х — 1) + 9(у- 2) + 36(г+ 1) = 36, (х — 1)г (у - 2)г 32 + 22 + ( + Приходим к смещенному уравнению эллипсоида с центром в точке О'(1; 2; — 1) и полуосями а = 3, й = 2, с = 1. Соответствующее каноническое уравнение получается после параллельного переноса системы координат х' = х — 1, у' = у — 2, г' = г + 1 и имеет вид (х')г (у')г + +( с)2 32 22 Пример 12.3. Выясним, какая поверхность является геометрическим обраэам уравнения х — у~+ г~ — 2х+ 4у — 2г — 3 = О.
г Как и в примере 12.2, по каждому переменному выделяем полный квадрат: (х — 2х+1 — 1) — (уг — 4у+4 — 4)+(гг — 2г+1 — 1) — 3= 0, (х — 1) — (у — 2) +(г — 1) =1. 362 1и поверхности второго порядкл Приходим к смещенному уравнению однополостного гиперболоида вращения с центром в точке О'(1; 2; 1). После параллельного переноса системы координат в зту точку х'=х — 1, у'=у — 2, г' = х — 1 уравнение принимает вид (х') — (у') + (х') = 1. Это уравнение не является каноническим из-за несоответствия знаков.
Осью вращения гиперболоида является ось О'у' новой системы координат (рис. 12.19, а). Рис. 12.19 Пример 12.4. Выясним, какую поверхность определяет уравнение второго порядка хз — 4гз + 89+ 8х — 12 = О. В уравнении нет слагаемого х первой степени и слагаемого у второй степени. Полный квадрат выделяем только по переменному хз х — 4(хз — 2х+ 1 — 1) + Зу — 12 = О, х — 4(х — Цз+ 8у — 8 = О, хз — 4(г — 1) = -8(у — 1), хз — — (х — 1) = -2(у — 1). 2з д, ПЬ Ь Конические и линейчатые поверхности 363 Приходим к смещенному уравнению гиперболического параболоида. Выполнив параллельный перенос системы координат х'=х, у'=у — 1, г'=х — 1 в точку О'(О;1; 1) получим уравнение вида — — ( ) =-29, (х')э 2э которое преобразуется в каноническое дополнительным пере- обозначением переменных (рис.
12.19, 6). Замечание 12.2. Для определения вида поверхности и построения ее в новой системе координат (после параллельного переноса) можно использовать метод сечений. Конечно, если, как в примере 12.2, уравнение поверхности имеет канонический вид, то можно воспользоваться приведенным выше выводом канонических уравнений поверхностей второго порядка. Однако в примерах 12.3, 12А (см.
рис. 12.19,а,б) ситуация сложнее,и использование метода сечений представляется целесообразным для исключения ошибок. Дополнение 12.1. Конические и лннейчатые поверхности Поверхность, которая образуется при движении прямой, проходящей через некоторую фиксированную точку А, называют конической. Точка А — это вершине конической новерхноскэи, а всевозможные прямые на поверхностн, представляющие собой положения движущейса прямой, — зто обрвзующие конической коверхностки (рис. 12.20). Примеры конических поверхностей дают прямой круговой и эллиптический конусы. Траекторию у некоторой фиксированной точки В на движущейся прямой (но не вершины) можно рассматривать как направляющую конической иоверхностпи. При этом коническую поверхность можно определить как множество всевозможных прямых, проходящих через фиксированную точ- 364 ПС ПОВЕРХНООТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА ку А (вершину) и пересекающих заданную кривую 'у (направляющую).
Рис. 12.20 Если начало прямоугольной системы координат Охуз совпадает с вершиной конической поверхности, то уравнение Г(х,у,г) = О этой поверхности будет иметь следующее свойство. Если Г(хе, уе, го) = О, то и Р'(Ляе, Луе, Лле) = О для любого действительного числа Л. Это следует из того, что через любую точку конической поверхности, не являющуюся вершиной, проходит образующая. Точки М(хо, уе, ге) н М'(Лхо, 'Луе; Лге) лежат на этой прямой. Уравнения с описанным свойством называют однородньами.
Итак, при указанном выборе системы координат уравнение конической поверхности будет однородным. Верно и обратное утверждение: геометрическим образом однородного уравнения является коническая поверхность. Алгебраическое уравнение будет однородным, если оно содержит слагаемые одной и той же степени. Например, каноническое уравнение (12.9) эллиптического конуса состоит из слагаемых второй степени. Коническая поверхность относится к более широкому классу ликебнаеаыи «онериносшеб, образуемых движущейся прямой (рнс. 12.21). Если движущаяся прямая все время проходит через фиксированную точку (что, вообще говоря, необязательно), то линейчатая поверхность будет конической. Если прямая движется поступательно, оставаясь параллельной свое- Д.
Ка1. Конические в линейчвтые поверхности 365 му исходному положению, мы получаем другой вид линейчатой поверхности — цилиндрическую поверхность. Рис. 12.21 Линейчатыми, но ие коническими, поверхностями являются однополостпкый гиперболоид и гиперболический параболоид. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим однополостный гиперболоид, заданный своим канокическим уравнением хз уз хз — + — — — =1 аз Ьз сз (12.23) хз хз уз — — — =1 —— а1 сз Ьз и преобразуем уравнение к следующему виду: (- — -) (-+ -) = (1 — -) (1+ — ) .
(12.24) При любом значении параметра А система А(1 У) а с Ь (12.25) А(-'+-') =(1+Я представляет собой общие уравкекия прямой Эта прямая при любом А принадлежит однополостному гиперболоиду, поскольку при А ф 0 уравнение (12.24) гиперболоида получается перемножением уравнений системы (12.25) и сокращением на А.
При Перенесем второе слагаемой левой части уравнения в его правую часть 366 12. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА А = О (12.24) следует иэ (12.25), поскольку обе части уравнения (12.24) содержат множители, равные нулю, Таким образом, однополостному гиперболоиду принадлежит бесконечно много прямых, описываемых общими уравнениями (12.25). Если к зтим прямым добавить еще одну прямую (12.26) х х — + — =О, а с которую естественно соотнестя с бесконечным значением параметра А, то через каждую точку однополостного гиперболоида будет проходить одна прямая семейства, лежащая на гиперболоиде.
Соответствующее значение А можно найти из системы (12.25). Итак, гиперболоид, который задается уравнением (12.23), представляет собой множество прямых, описываемых уравнениями (12.25). Эти прямые называют прлмолимебмымв образующими однополостпново гииерболоидв. Однополостный гиперболоид вмеет также второе семейство прямолинейных образующих, которое описывается системой уравнений аналогичной (12.25), с тем же соглашением о значениях параметра А Рве. 12.32 (рнс. 12.22).
Наглядным примером однополостного гиперболоида с двумя семействами прямолинейных образующих являются секции Шаболовской телебашни. Автор оригинальной идеи, заложенной в конструкцию телебашни, он же ее конструктор — русский инженер В.Г. Шухов (1853-1939). 367 Д.12.1. Конические и оинейчотие иоаеркиости х' у' — — — = 2р» пз Ьз к виду (- — -) (-+-) = 2р». (12.27) пение можно „расщепить" в систему двух линейных уравнений х у ---=лр, а Ь (12.28) л(-+ — ) =2» или по-другому х у -+- =лр, а Ь (12.29) Л~ — — -) =2».
~а Ь Каждая из систем (12.28), (12.29) задает семейство прямолиней- ных образующих гиперболического параболоида (рис. 12.23 . Рис. 12.22 Прямолинеиные о р у б аз ющие гиперболического параболонда находятся так же, ка к и однополостного гиперболоида. Преобразуем каноническое уравнение гиперболического пара- болоида 368 Ка ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА асов~р / ав1п~рЛ а ~, а и решим уравнение относительно Л: сов~р 1 — в!п у (12.30) Знал параметр Л, мы можем найти направляющий вектор в прямой (12.25) как векторное произведение нормальных вектпоров двух плоскостей, определяемых уравнениями системы (не забывая при этом, что а = Ь): у й 1/а Л/а -1/с Л/а — 1/а Л/с Лз — 1. 2Л .
Ля+1 й. — в — у ас ас аз В случае однополостного гиперболоида вращения, т.е. при а = Ь, каждое из двух семейств прямолинейных образующих получается вращением одной прямой семейства вокруг оси вращения поверхности. Это значит, что однополостный гиперболоид вращения можно получить вращением прямой, которая является скрещивающейся по отношению к оси вращения. Рассмотрим, например, семейство (12.25), полагая, что а = Ь.
Каждая прямая семейства пересекает координатную плоскость хОу в точке, лежащей на окружности хз + уз = аз (других точек гиперболоида в плоскости хОу нет). С другой стороны, прямолинейная образующая не может быть параллельна этой плоскости, так как соответствующим сечением гиперболоида является эллипс). Выбрав произвольную точку М(асеев; ав1п~р; 0) на указанной окружности, найдем значение параметра Л для прямой семейства (12.25), проходящей через М. Отметим, что прямолинейнвл образующая, соответствующая Л = О, пересекает эту окружность в точке (О;-а;0), а соответствующая бесконечному значению Л вЂ” в точке (О; а; О). Это непосредственно следует из (12.25).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
