Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия. Под ред. В.С.Зарубина, А.П.Крищенко (2-е изд., 2000) (1004035), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Рис. 12.1$ ИС ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА Пример 12.1. В качестве примера рассмотрим уравнение эллиптического параболоида (12.8) х' у' — + — =2х аз Ьз и исследуем его форму методом сечений. Пересечение этой поверхности с плоскостью х = с описыва ется уравнением 3 рз — + — =2с, аз Ьз При с < О пересечение пусто, при с = О оно совпадает с начало и системы хоордииат Охуя, а при с > О представляет собой эллипс хз У + =1 (а~/2сс)з (Ь~/2сс)з Оси этого эллипса с ростом параметра с увелычываются, н можно представить форму поверхности (рис.
12.16, а). Кстати, слово „эллиптический" в названии поверхности и указывает на то, что среди ее сеченый имеются эллипсы. Пересечения этой же поверхности как с плоскостью х = с (рис. 12.16, б), так и с плоскостью у = с (рис. 12.16, е) представляют собой параболы сз — + — =2х аз Ьз хз сз — + — =2х аз Ьз соответственно. Параболы в каждом из этих семейств сечений имеют равные параметры (они не завысит от значения с). Эти сечения позволяют дать еще одно геометрическое построение эллиптического параболоида. Рассмотрим параболу Р~, находящуюся в плоскосты у = О, и аналогичную параболу Р~ 354 1а повярхности второго порядкл р . 1г.17 в плоскости х = 0 (рис.
12.17, а). Пусть вторал парабола Рз перемещается в пространстве так, что: — вершина параболы Рг все время находится на параболе Р1, — ось параболы Рз параллельна осн параболы Р1, — плоскость параболы Рз перпендикулярна плоскости параболы Р1. Тогда в результате такого перемещения и образуется эллиптический параболоид. При этом роли парабол Р1 и Рз можно поменять, т.е. перемещать параболу Р1, используя параболу Рг как направляющую. Уравнение х д — — — =2х а~ Ь~ (12.13) отличается от уравнения (12.8) эллиптического параболоида лишь знаком одного слагаемого и тоже задает поверхность второго порядка.
Ее называют гиперболическим параболоидом, а само уравнение (12.13) — какоиичееким ураекеиием гиперболического параболоида. ~2.а Неполные урввненил поверхности второго порлдив 355 Исследуем вид гиперболического параболоида методом сечений. Его пересечения с плоскостями у = с при любом значении с являются параболами: х2 с2 — — — = 22. а2 62= Пересечения с плоскостями я = с тоже при всех значениях с являются параболами: с' я' — — — = 22. а2 52 Обозначим через Р1 параболу, находящуюся в сечении р = О, а через Р2 — аналогичную параболу в сечении х = О. Переме- щал, как и выше, параболу Р2 по параболе Р1 (рис.
12.17, б), получаем седлообразную поверхность гиперболического пара- болоида. Пересечения гиперболического параболонда с плоскостями 2 = с при с у~ О являются гиперболами .2 2 — — — =2с, а2 52 а при с се Π— парой пересекающихся прямых Х2 У2 — — — = О. а2 о2 Выбор названия поверхности объясняется характером сечений: горизонтальные сечения гиперболического параболонда — это гиперболы, а два других семейства рассмотренных сечений — параболы.
12.8. Неполные уравнения поверхности второго порядка Поеерхностпь еохороео еворлдма в пространстве в заданной прлмоуеольной систпеме координата описывается уравнением с десятью козффициентами: Ахз+ Ву2+ С22+ Пхр-1. Егв+ Ррв+ 6г+ Цу+ Кг+ Ь = О, 356 гг. пОВеРхнОсти ВТОРОГО пОРядКА причем среди первых шести коэффициентов, от А до г', должен быть хотя бы один ненулевой. Мы, как и в случае кривых второго порядка, не будем проводить полную классифыкацыю поверхностей второго порядка, отложив ее до изучения курса линейной алгебры [!Ъ'].
В этом разделе мы рассмотрим случай неполного уравнения поверхности второго порядка, т.е. когда в уравнении отсутствуют попариые произведения переменных: Ахг+ Вуг+ Схг+Сх+ Ну+ Кх+ Ь = О. (12.14) Такое уравнение второго порядка при помощи параллельного переноса системы координат и, возможно, переобозначения переменных можыо преобразовать в одно из канонических уравнений поверхносты второго порядка или в уравнение вырожденной поверхности второго порядка, хотя в некоторых особых случаях для упрощения уравнения параллельного переноса недостаточно.
Такые особые случаи подробно анализируются в [1Ч]. Для преобразованыя уравнения (12.14) используют выделение полного квадрата по каждому из переменных, входящих в уравнение во второй и первой степени (см. 11.4 или [1]). При этом возможны три варианта. 1. В первом варианте уравнение (12.14) содержит квадраты всех трех переменных.
Выделение полного квадрата по х (при С ~ 0), по у (при Н ~ 0) и по х (при К Р 0) преобразует уравнение (12.14) к виду А(х — хо) +В(у — уа) +С(х — хе) = Ь~> (12 15) где а Н К , аг Нг Кг хе=- —, уе= — —, хо= — — е =-Й+ — + — + —. 2А' 2В' 2С' 4А 4В 4С Пусть в полученном уравнении (12.15) 1/ ~ О. Тогда, введя обозначения аг = Щ/]А[, Ьг = Щ/]В], с = ].Ц/]С], придем к 22УЛ Неполиые урввиеиив поверхности второго порвдка 357 (х — хо) (У УО) ( го) 1 (12 18) а2 Ь2 с2 однополостпноео еипербаеоида (х — хо) (у — уо) (г — го) а + с (х — хо)2 (у — уо)2 (г — го)2 (12.17) а Ь с 2 2 2 (х — хо)2 (у — уо)2 (г — го)2 22 Ь2 2 1 двуполосотного гиперболоида (х — хо) (У вЂ” Уо) (г — го) а Ь с 2 + 2 2 (х — хо)2 (у — у )2 (г — г )2 а2 Ь2 с2 11 (х — хо) (у — уо) (г — го) Ь2 с2 (12.18) или мннмоео эллипсонда (х — хо)2 (у-уо)2 (г-го)2 а + 2 + 2 Ь с называемого так потому, что уравнение напоминает уравнение эллипсоида, ио в отличие от последнего описывает пустое множество.
Если Ь'=О, то, вводя обозначения а2 = 1/~А~, Ь2 = 1/~В~, с2= = 1/ ~СЬ также пряходим к смещенному уравнению поверхности второго порядка. В зависимости от знаков коэффициентов смещенному уравнению поверхностна втпороео порядка. В зависимости от знаков коэффициентов уравнения (12.15) зто могут быть уравнения зллипсоида 358 1г. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА уравнения (12.15) это могут быть уравнения конуса (г- го)з (х — хо) (У вЂ” Уо) — О, сз (г — го)з + з (г- го)з аз Ьз (х — хо)з (у — уо)з = 9, (12.19) аз Ьз (х — хо)' (у — уо)' — 0 сз аз Ьз нли точки (х — хо) (у — Уа) (г — го) оз + Ьа + з Замечание 12.1.
После параллельного переноса системы координат Р х =х — хо, / ! у =у — уо, г =г — го в точку О'(хо, уо, го) уравнение (12.16) и первые в тройках уравнений (12.17)-(12.19) в новых переменных примут канонический внд, в то время как остальные уравнения в (12.17) — (12.19) преобразуются к каноническому виду дополнительным пере- обозначением переменных в соответствующей координатной нлоскос~ни. Это переобозначенне переменных важно с теоретической точки зрения, так как позволяет определить тип поверхности, хотя положение атой поверхности в системе координат О'х'у з' принципиально иное, нежели в канонической системе координат (на рис.
12,18 приведены три варианта положения однополостного гиперболоида). На практике дополнительное изменение системы координат не реализуют и изображают поверхность в системе координат О'х'уЪ', получающейся параллельным переносом. Переобозначение переменных рассматривают как чисто алгебраическую операцию, позволяющую выяснить положение поверхности относительно системы координат. И.8. Неполные уравнения поверхности второго порвдка 359 Рне.
12.16 2. Во втором варианте уравнение (12.14) содержит квадраты двух переменных. Здесь выделяются три подварианта: а) А~О, В ~0, С=О; б) А~О, В=О, СфО; в) А=О, В~О, С~О. Этн подварианты сводятся друг к другу переобозначением переменных. Поэтому они дают одни и те же результаты, и иам достаточно рассмотреть лишь один иэ них, например первый. Если Аф.О, Вф0, а С=О, то в случае К =0 третье переменное л вообще не входит в уравнение (12.14), которое в этом случае является уравнением цилиндра второго порядка. Все возникающие ситуации и тип поверхности полностью характеризуются направляющей цилиндра в плоскости хОу (см. 11.4). ЗОО 12. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА В случае К ~ 0 выделение полного квадрата по х (прн а ф О) и по у (при И ~6 0) преобразует уравнение (12.14) к виду А(х — хо)2+ В(у — уо)2 = -К(х — хе), (12.20) где а и ь', а' хо=- Уо=- го= 2 = — ь+ + 2А' 23' К' 4А 4В Введя обозначения а2 = 1/~А~, Ь2 = 1/~В~, р = ~К~/2, придем к смещенным уравнениям поверхности второго порядка.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
