Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия. Под ред. В.С.Зарубина, А.П.Крищенко (2-е изд., 2000) (1004035), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Неполное уравнение кривой второго порядка хз+ 2х — бр+ 7 = О относится к параболическому типу, поскольку содержит только одно слагаемое с переменным в квадрате. Выделяя полный квадрат по х, получаем (хз+ 2х + 1 — 1) — бр+ 7 = О, (х+1)'=6(у-1). В координатах х' = х+ 1, у' = д — 1 уравнение имеет вид (х')2=2 Зу'. Это парабола с вертикальной осью симметрии, для которой р = = 3, а р/2 = 1,5. Вершина параболы находятся в точке 0'(-1; 1) (рис. 11.23). Рнс.
11.23 А( — 3; О) В(3; 0) Р, (-~/Гз; о) р,(~~з; о) х' ш ~9/БАГЗ р' = х2/Зх' А(3-3; 1) В(3+3; 1) Р,(з- ~~з; 1) р,(з+ БАГЗ; 1) — з = +е/~~з р-1 = х2(х -3)/3 ук КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА Укажем остальные характеристики кривой: О'к'у' Оху Система координат Р(-1; 1+1,5) а+1=-15 Р(0; 1,5) ю' = -1,5 Координаты фокуса Ураиненне директрисы Пример 11.9. Неполное уравнение ху — х — 2у+ 6 = О кри- вой второго порядка относится к гиперболическому типу, по- скольку оно не содержит слагаемых с квадратами переменных, но имеет слагаемое с их произведением. Преобразуем уравне- ние: х(у — 1) — 2(у — 1+ 1) + 6 = О> (у — 1) (х — 2) + 4 = О, (х — 2)(у — 1) = -8/2.
В канонических координатах х' = х — 2, у' = у — 1 уравнение имеет вид х'у' = -(21/2)'/2, Рис. 11.34 т.е. представляет собой уравнение сопряженной гиперболы в асимптотах с полуосями а = о = 21/2. Далее находим с = = и>ая + оя = 4 с = с/а = 4/(21/2) = 1/2. Центр гиперболы находится в точке О'(2; 1) (рис. 11.24). 335 д.пд. И храме уреен хне Даем сводку остальных характеристик по этой кривой: Система коордннат О'х'у' Оху Коордвнаты вершах А(-2; 2) А(2 — 2; 1+2) в(г+ 2; 1- 2) Р) (2 — гс/2; 1+ 2~/2) Ре(2+ 2~/2; 1 — 242) у-1= Ы Гг(х -2) 8(2; — 2) Е~ (-ганг; 2~/2) Р,(2Л', -г~г) Коердннатм фохуссв у' = х' х г е'2 у'=0 х'шО Уравненнл дврехтрнс Урехвеннл еснннтот д-1=0 х — 2=0 Дополнение 11.1.Полярные уравнения — =с, Р ')МР') (11.21) где р — полярный, он же фокальный, радиус точки М на кривой; МР— перпенднкуляр, опущенный нэ точки М на днректрнсу И (рнс. 11.25, б).
Часто используют уравнення эллаоса, еаоерболы н оараболы в полярной сисгаене координат. На внд этих уравнений влияет взаимное расположение канонической систелсы координат кривой н полярной системы координат. Мы фиксируем полюс полярной системы координат в 4окусе кривой. Пря этом для эллипса выбираем левый фокус, а для гяперболы правый, если рассматрявать нх расположение в канонической сястеме координат. Полярную ось выбираем так, чтобы ее направление совпадало с положительным направлением оси абснасс каноннческой системы координат.
Все трн вида крявых описываются общим свойством: для любой нх точки отношение расстояний до фокуса н до днректрясы постоянно н равно эксцентрясятету кривой. Значение эксцентрнсятета определяет тяп крнвоя. Если зафнкснровать фокальный параметр, так что положение директрисы в выбранной системе координат будет оставаться неизменным, мы, варьируя эксцентрнсятет, получям единый ряд эллнпсов, параболы, правых ветвей гипербол (рнс. 11.25,а). Конкретная кривая определяется свопм эксцентрнснтетом с прн помощи уравнения 336 Ы. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА Рнс. 11.36 Так как ~МР~ = р+ рсов~р, то, подставив это выражение в (11.21), получим р =въ р+ рсов~р или рв р= 1 — всея~о (11.22) ~МР~ = — рсов~р - р, и поэтому иэ (11.21) полярное уравнение левой ветви гиперболы получаем в виде Р= 1+„,р Уравнение (11.22) наэыввют аоллрмым уравнением эмьипсо, твараболью и правой ветви еиперболы.
Если точка М (рис. 11.26) принадлежит левой ветви гиперболы, то 337 Вопросы и задачи Рис. 11.26 Вопросы и задачи 11.1. Доказать, что у сопряженных гипербол фокальные расстояния совпадают. 11.2. Доказать> что при повороте канонической системы координат на угол я/2 уравнение сопряженной гиперболы превратится в каноническое уравнение гиперболы. 11.3. Найти уравнение эллипса, если его оси симметрии параллельны осям координат, которых он касается, а центр находится в точке (-3; 2).
11.4. Нанти уравнение гиперболы с центром в точке (2; 1), если ее оси симметрия параллельны осям координат, ее асимптота проходит через начало системы координат н эта гипербола касается: а) оси абсцисс; б) оси ординат. 11.5. Найти уравнение равнобочной гиперболы с центром в точке (2;1) и проходящей через начало системы координат, если одна из ее асимптот: а) вертикальна; б) горизонтальна; в) параллельна прямой у = х. 11.6.
Найти уравнение параболы с першиной в точке (1; 3), проходящей через точку (3;-1), ось симметрии которой: а) вертикальна; б) горнзонтальн. 338 1 Ь КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА 11.7. Преобразовать уравнение кривой второго порядка и построить его геометрический образ в системе координат Оху, определив: для параболы — координаты вершины и фокуса, уравнение директрисы; для зллнпса — координаты центра, вершин и фокусов, полуоси и зксцентрнситет, уравнения директрис, "для гиперболы — еще и уравнения асимптот: а) ху — х — 9+1=0; б) хд — х — 9+5=0; в) 4хз — 9рз — 16х — 369-56=0; г) 4хз — 259з — 16х — 1009+ 16 = 0; д) хз — 169з — 2х — 649 — 47 = 0; е) хз — 10х-4у+57= 0; ж) ху — 9х — 49+72=0; з) 2хз+ 2уз+ 4х — 89+ 11 = 0; и) 2хз — рз+4х — 89+36= О.
11.9. Доказать, что в полярных уравнениях кривых второго порядка знаменатели не обращаются в нуль. 11.10. Найти каноническое уравнение кривой второго порядка по ее полярному уравнению: 15 15 а) р= б) Р= 5 — Зсов~р' 3 — 5сову' 5 в) р= 1 — сов1в 11.8. Составить уравнение параболы, если ее фокусом является точка 12; -4), а директрисой: а) ось ординат; б) ось абсцисс; в) прямая 9 = 8. 12. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 12.1. Поверхность вращения и преобразование сжатия Поверхность вращения.
Простейшие поверхности в пространстне — это плоскости. Они являются геометрическими образами уравнений иереей степени от трех переменных. Другой достаточно простой тип поверхностей составляют поверхности вращения. Определение 12.1. Поверхность й называют ноеерхмоспзью ераилемил, если она образована окружностями с центрами на некоторой прямой Ь (оси вращения), которые расположены в плоскостях, перпендикулярных Ь (рис. 12.1). Уравнение поверхности вращения й имеет наиболее простой вид, когда иача- ло О орлмоуеольиой системы координат лежит на оси вращения, а ось Оя совпадает с ней.
Пересечение поверхности й с координатной плоскостью Охи — зто некоторое множество Я (рнс. 12.2), вращение которого образует й. Ь Предположим, что множество Я в р„ плоскости Охя описывается уравнением <р(х,х) = О. Рассмотрим произвольную точку М(х; у; х). Она удалена от оси Ох на расстояние д= ~/хз+уз. Если точка М лежит на поверхности вращения й, то точки М~(х~',О; х), Мз(хз, 'О; г) с той же аппликатой х, что и М, и абсциссами хь —— а', 24О ПЬ ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА хз = — >1 принадлежат множеству Я. Поэтому О = >р(хых) = >р(Й>х) = >р(~х+ у >х) > О = >р(хз>х) = >р(-д>х) =>р(- ~х~+уз>х) и условие М б й сводится к тому, что коордикаты точки М удовлетворяют равенству >р(~ ~хэ+уз>х) =О.
(12.1) Уравнение (12.1) и есть уравнение поверхности Й, котораяобразована вращением подмножества, Я = = (>(х; х): >р(х, х) = 01, расположенного в координатной плоскости Охх. Из уравнения множества о' уравнение (12.1) соответствующей поверхности вращеыия получается заменой х на ~~/хз+ уз. Преобраэоваиие сжатия. Под преобраховамвем сясооим к координатной плоскости Охи мы понимаем такое преобразование, при котором точка М(х;у;х) смещается в точку М'(х; у/й; х), Й > О. Параметр Й называют моэффициенгпом сисопзил.
При й> 1 точки пространства, расположенные на одной прямой, перпендикулярной плоскости Охх, в результате такого преобразования сближаются, т.е. преобразование— действительно сжатие. При О < Й < 1 преобразование фактически является растяжением. Пусть в пространстве в прямоугольной системе координат Охуя некоторое множество Я задано своим уравнеыием г"(х,у,х) = О. При преобразовании сжатия к координатной плоскости Охя с коэффициентом й это мыожество превратится в новое множество Я' с уравнением Г(х,ку>л) = О.
Это следует из того, что точка (х; у; г) тогда и только тогда принадлежит множеству Я>, когда точка (х; Йу;х) приыадлежит множеству Я. 341 1Х«. Эллнисамям 12.2. Эллипсоиды хз «2 — + — = 1. аз вз Если в этом уравнении заменить х на ~~/««+ уз (см. 12.1), то получится уравнение хз+ уз — — 1 аз Ьз соответствующей поверхности вращения. Итак, эллипсояд вращения с осью вращения Ог описывается уравнением хз уз «з — + — + — =1 а2 аз ьз (12.2) Рие. 1З.З Рие. 12.4 Поверхность, которан получаетсн при вращении,млииса вокруг одной из его осей симметрии, называют элливсоидом враи1емил (рис.
12.3) Уравнение эллипсоида вращеняя выведем, расположив начало нрлмоуеольноб системы координат в центре эллипса и совместив ось аннликат Ог с осью вращения, а координатную плоскость Охг — с плоскостью эллипса (рис. 12.4). Тогда уравнение эллипса будет яметь вид 342 Пс ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА х2 й2у2 22 — + — + — =1 а2 а2 Ьэ или, после переобоэначенин параметров, х у х — + — + — = 1. Ь2 с2 (12.3) Уравнение (12.3) задает поверхность ещороео порядка. Его называют какокическкм нраенеккем эллипсокда.
Три па; раметра а, Ь и с, входящие в него — это 22о юкоса элли22совоа (рис. 12.5). Если все три полуоси эллипсоида попарно различны, то эллипсоид называют к2ревоскььм. Рне. 12.$ Прн совпадении каких-либо двух полуосей (как, например, в уравнении (12.2)) эллипсоид является поверхностью вращения (эллипсоидом вращения). Если равны все три полуоси (а = Ь = = с = г), то эллипсоид превращается в сферу радиуса г, которая описывается уравнением х +у~+я =г .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
