Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия. Под ред. В.С.Зарубина, А.П.Крищенко (2-е изд., 2000) (1004035), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Подставим в первое уравнение системы (12.25) координаты точки М збО д.тн2. Конические сечение Длина полученного вектпора равна (Лз — 1)газ + 4Лзаз+ (Ля+ 1)~сз (1+ Лз)ъ/аз+ сз 1з!— азс азс Разделив вектор з на его длину, получим едииичныт1 направля- ющий вектпор Лз — 1 .
2Л зо = — ре — — ру — вй = рв1п сей — рсов уу' — вй, Ля+1 Ля+1 где р = а/~/аз+сз, в = с/~/аз+сз, а параметр Л заменен на 1о согласно формуле (12.30). Можно показать, что вектор зе получается из вектора с коордииатпалти (О;-р;-д~, соответствующего Л = 1, поворотом на угол <р вокруг оси Ог (1Ч], Следовательно, прямая семейства (12.25), соответствующая параметру Л, получается поворотом вокруг оси аппликатп прямой того же семейства, соответствующей параметру Л = 1. Дополнение 12.2.Коннческне сечения Важнейшей особенностью прамого «ругового конуса является то, что все кривые второго порядка трех типов: эллипсы, гиперболы, параболы — могут быть получены как комические секеиетл, т.е. сечения конуса различными плоскостями. Рассмотрим прямой круговой конус, который в прл.иоугольнот1 систпеме координатп Охух описывается уравнением х +у — я~ =О (12.31) и геометрически получается прн вращении вокруг оси Ох прямой г = х, принадлежащей коордииатпнот1 плоскостпи хОх.
В силу круговой сямметрии поиерхности (12.31) можно ограничиться только сечениями прн помощи плоскостей, перпендикулярных координатной плоскости хОх. Таким плоскостям соответствуют уравнения Ах+ Вг+ О = О, Аз+ Вз ф О. 370 ~2. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА Если В = О, то секущая плоскость описывается уравнением х = хе, где хв = -Р/А, и параллельна координатной плоскости у02. Подставив значение абсциссы хе в уравнение конуса (12.31), найдем, что сечение в плоскости х = хо описывается уравнением хэ — уз = хне (см. 12.7) и при хо ф 0 представляет собой равнобочкую гиперболу (рис. 12.24, а), а при хе — — 0 — пару прямых, которые являются образующими конуса (рис.
12.24, б). Рпс. 12.24 ,з+ з з О =Ьх+Ь. (12.32) Чтобы получить уравнение кривой в секущей плоскости, рассмотрим прямоугольную систему координат 0<аде, взяв в качетве координатных осей 0'и и 0'1< прямые, являющиеся пересе- Пусть в уравнении секущей плоскости коэффициент В ~ О. Тогда плоскость можно представить уравнением х = Ьх+ Ь, где Ь = — А/В, Ь = -Р/В. В силу симметрии конуса относительно плоскости Оху достаточно ограничиться случаем, когда Ь < О.
Коническое сечение для рассматриваемой плоскости в пространстве будет описываться системой двух уравнений 371 Д.12.2. Конические сечения чениями секущей плоскости с координатными плоскостями хОг и хОу (рис. 12.25). Координаты и и е произвольной точки в секущей плоскости будут связаны с ее координатами х, у и г в пространстве соотношениями и х = хе + и сов у = хо ~/Г+ Ь~ У=и~ /си г= ив1псс=— Л+ lР' (12.33) где се — угол между коническим сечением, перпендикулярным координатной плоскости хОг, и координатной плоскостью хОу (см. рис.
12.25), причем /с = гбао, а хе — — — Ь/Ь. Рис. 12.26 Раскрывая скобки и приводя подобные„находим 1 — й 2 2Ь Ь 1+ Ьг ЬД+ ~У вЂ” и + и+ — +и~=О. (12.34) Подставляя (12.33) в первое уравнение системы (12.32), получаем уравнение конического сечения в системе координат ОЪп 372 12. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА При й = -1, когда секущая плоскость образует с плоскостью хОу тот же угол, что и образующие конуса, конические сечения будут представлять собой параболы (рис.
12.26, а) и описываться уравнением ез =Ьс/2(а — Ь/~/2). Варьируя параметр Ь в уравнении секущей плоскости, в качестве конического сечения можно получить любую параболу. Рис. 12.2В При й ~ -1 (й < О) уравнение (12.34) примет вид (12.35) 1+йз ~"+ й(1 й2)( " 1 йз' Здесь возможны два варианта. Прн — 1 < й < О, т.е.
когда секущая плоскость образует с плоскостью хоу меньший угол, чем образующие конуса, выполнено неравенство 1 — йз ) О и поэтому уравнение (12.35) конического сечения является уравнением эллипса (см. рис. 12.26,б). И здесь, варьируя параметры Ь и й в уравнении секущей плоскости, мы можем получить в сечении любой эллипс. 373 Воиросм и задачи При й < — 1, т.е. когда секущая плоскость образует с плоскостью хОу больший угол, чем образующие конуса, имеем 1 — Йг < О, так что коническое сечение, описываемое уравнением (12.35), является гиперболой (рис. 12.26,е). Варьируя параметры 5 и Й, можно получить в коническом сечении любую гиперболу. Вопросы и задачи 12.1.
Исследовать форму поверхности второго порядка методом сечений; а) хг — 2у — хг =1; б) хг — уг — 4=0; в) 4хг+4уг+5хг+1=0; г) уг —.хг — хг=О; д) уг+хг — хг= О; е) уг — хг+хг=О; ж) ху=О; э) 2хг+2уг+4х — 8у+11=0. Установить названия этих поверхностей и сделать рисунок в заданной системе координат. 12.2, Найти уравнения проекций на координатные плоскости пересечений поверхностей: а) хг+уг+х-4=0, хг+уг х О. б) хг+уг х 9=0, хг+уг 1 0 в) хг+уг — э=О, 4х — 4у — х+8=0. 12.3.
Найти уравнение конуса с вершиной в точке (1; -3; 2), образующие которого составляют угол 60' с координатной плоскостью: а) хОу; б) хОх; в) уОх. 12.4, Доказать, что уравнение хг — Зуг+ хг = 2х — 2х — 2 задает конус, и найти его вершину.
12.6. Найти уравнение конуса с вершиной в начале системы координат, если в него вписана сфера хг+ уз+ (х — 4)г = 1. 12.6. Найти каноническое уравнение эллипсоида с полуосями5,3и2. 374 И. ПОВЕРХИОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 12.7. Преобразовать уравнение поверхности второго порядка с помощью параллельного переноса системы координат и построить ее в новой системе координат: а) хл — х — я+1=0; б) уз+ля — 4у-4х+4=0; в) 4хз + 9уз + лз — 16х — 36у+ 2х+ 296 = 0; г) 4хз — уз+ ля — 24х+2у-4л+35= 0; ) хз уз хз 4у 2л — 1= О.
12.9. Установить название поверхности второго порядка при всех значениях параметра $: а) хз — 2х — я+С=О; б) хз — 1уз+(1+1)хз — 4у-4г+4=0; в) хз+2уз+Злз — 16х — 8у+12л+Ф=О; г) хз — уз + хз - 4х + 2у — 4л+ 1 = 0; д) 1хз — (1 — 1)уз — (1+ 2)гз — 1 = О. 12.9. В прямоугольной системе координат задана прямая * — 1 у+2 х+1 Найти все значения параметра $, при которых поверхность, образованная при вращении данной прямой вокруг оси: а) Ох; б) Оу; в) Оз, является конусом, и определить вершину этого конуса.
список Рекомендуемой ЛИТЕРАТУРЫ Учебники и учебные пособил Александров П.С. Курс анааггнческой геометрии и лввейной авгебры: Учеб. длв вузов. Мл Наука, 1979. 512 с. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и лниевной ам.ебры: Учеб. пособие для фвз.-мат. н вии.-фнз. специальностев вузов. 6-е взд., стереотвп. М.: Наука, 1984. 319 с. Беллмаи Р. Введение а теорюо матриц / Пер. с англ. под ред. В.Б. Лидсиоео. Мл Наука, 1969. 368 с.
Гантмахер Ф.Р. Теория матрац. 3-е взд. Мл Наука, 1967. 576 с. Ейимов Н.В. Краткой курс аналитической геометрии. 12-е нзд., стереотип. Мл Наука, 1975. 272 с. Ильим В.А„Позкви Э.Г. Аналитическая геометрию Учеб. для уюшерситетоа. 4-е взд., доп. Мл Наука, 1968. 224 с. Курою А.Г. Курс аысшен алгебры. 8-е изд.
Мл Наука, 1965. 432 с. Ланкастер П. Теория матриц 1 Пер. с англ. С.П. Девушкина. Мл Наука, 1978. 280 с. Поеорелов А.В. Аналитическая геометрюс Учеб. для мат, и физ. специальностей вузов. 4-е изд., стереотип. Мл Наука, 1978. 318 с. Постников М.М. Анаипическаа геометрия. 2-е изд., перераб. М: Наука, 1986. 414 с. Хори Р., Дзсоисои Ч. Матричный аналвз / Пер. с англ. под ред. Х.Д.Икрамова Мл Мнр, 1989. 655 с. Справочные иэоаниа Алексаидрова Н.В.Математвческие термины: Справочник. Мл Высш. шк., 1978. 190 с.
Бронштейн И.Н., Семеидвев К.А. Справочивк по математвке для вниенероа в учащихся атузов. 13-е взд., нспр. Мл Науке, 1986. 544 с. Водиев В.Т., Наумович А.Ф., Наумович Н.Ф. Математический словарь высшей шкалы / Под ред. Ю.С. Боедаиова. Минск: Вышзйш. шк., 1984. 528 с. Список рекомендуемой литературы 376 Вмеодскиб М.Я. Справочник по высшеи математике. 13-е взд,, стереотип. Мл Физматлит, 1995. 872 с. Кори Г., Корн Т. Справочник по математике (длл научных работюпсов и яыяенеров) / Пер.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
