Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия. Под ред. В.С.Зарубина, А.П.Крищенко (2-е изд., 2000) (1004035), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Рассматривая у как функцию от х, ыеявыо заданную уравнением (11.4) (11], и дифференцируя его: 2х/а~+ 2уу'/Ь' = О, находим провзводыую у'(х) =-хЬ~/(уа ), УЧЬО. Рис. 11.6 Видим, что для всех точек зллипса, кроме вершын А и В, производнал, а значит, и касательыал существуют. Найдем ее уравыение в произвольной точке М(хо, уо) зллыпса. Воспольэовавшвсь уравнеыием касательной у — уо = у (хо) (х — хо) к графику функции у = у(х) в точке М, получим хоЬ~ у — уо = — — з(х — хо) уоа~ или ххо ууо хо уо 2 2 — + — = — +— в2 Ь2 о2 Ь2 ~ 304 11. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА т.е ххо ууо — + — =1 аэ 'оз поскольку коордиыаты точкы М удовлетворяют уравыеыию (11.4) эллипса. Касательные в вершинах А и В также существуют, в чем можно убедиться, рассматривал х как ыеявыую фуыкцию у. Получеыыое уравыеыие касательыых распростраыяется ы ыа касательыые в точках А и В.
Нормальным векторам касательной к эллипсу является вектор ю с координатпами (хо/аэ; уо!Лз). Утверждение, что фокальыые радиусы Л1М и ЛзМ составляют с касательной к эллипсу в точке М равиые углы, зквивэлеытыо утверждению о параллельыости нормального вектора касательыой и биссектрисы МФ угла Л1МРэ (см. рис. 11.6). Убедимся в том, что последнее верно для любой точки М эллипса. Рассмотрим векторы г1Ла и ГрМ. Вектпоры л1 — — ~РА~Р1 Л3 и яээ = ~Л'1Л$~рзЛв коллинеарны векторам Г~Х~ и рэА~ и имеют одинаковую длину, равыую )Л1Л$~ ~рэЛ$~. Поэтому их сумма и1 + из представляет собой диагональ построеыиого ыа ыих ромба, являющуюся, как известно, биссектрысой выутреииего угла ромбе.. Таким образом, согласно теореме 1.8, достаточно доказать пропорциоыальиость координат вектора 1з1 + тьэ и ыормальыого вектора м касательной, что следует из равеыств ~ЯФ~км+ ~М~М = = (а + ехо) (хо — с; уо) + (а - ехо) (хо+ с; уо) = = ((а+ ехо) (хо — с) + (а — ехо)(хо+ с); 2ауо) = сэва = (2ахо — 2сехо'2ауо) = 2а 1 — — ) хо уо аз) =2 ( — *;р )=н"( —; — ).
Доказанное геометрическое свойство имеет ыаглядыый физический смысл. Если в фокусе Г1 расположить источник света, 305 то луч, выходящий из этого фокуса, после отражения от эллипса пойдет по второму фокальному радиусу, так как после отражения он будет находиться под тем же углом к кривой, что и до отражения. Таким образом, все лучи, выходящие из фокуса г1, сконцентрируются во втором фокусе Рз, и наоборот. Исходя из данной интерпретации доказанное свойство называют опгпическим свойспъвом эллипса. 11.2.
Гипербола Определение 11.2. Геометрическое место точек плоскости, для которых разность расстояний до двух фиксированных точек есть величина постояннзл, называют гиперболой. Замечание 11.2. Говоря о разности расстояний, подразумевают, что из большего расстояния вычитается меньшее, Это значит, что на самом деле для гиперболы постоянным является модуль разности расстояний от любой ее точки до двух фиксированных точек.
ф Определение гиперболы аналогично определению эллипса. Различие между ними лишь в том, что для гиперболы постоянна разность расстояний до фиксированных точек, а для эллипса — сумма тех же расстояний. Поэтому естественно, что у этих кривых много общего как в свойствах, так и в используемой терминологии. Фиксированные точки в определении гиперболы (обозна чим их Е, и гз) называют фокусами гиперболы. Расстояние между ними (обозначим его 2с) называют фокалькым риссп1олкием, а отрезки г1 М и гзМ, соединяющие произвольную точку М на гиперболе с ее фокусами, — фокалькыми радиус ими.
Вид гиперболы полностью определяется фокальным расстоянием ~Р1рз~ = 2с и значением постоянной величины 2а, равной разности фокальных радиусов, а ее положение на плоскости— положением фокусов г1 и Ез. Ы. КРИВЫЯ ВТОРОГО ПОРВАЛ 306 Из определения гиперболы следует, что она, как и эллипс, симметрична относительно прямой, проходящей через фокусы, а также относительно прямой, которая делит отрезок Г1Гз пополам и перпендикулярна ему (рис. 11.7). Первую из этих осей симметрии называют дебстпвипъельпоб осью еиперболы, а вторую — ее мнимой осью. Постоянную величину а, участвующую в определении гиперболы, называют дебспэвитвельпой полуосью гиперболы.
Рис. 11.Т Середина отрезка Г1 Гэ, соединяющего фокусы гиперболы, лежит на пересечении ее осей симметрии и поэтому является центром симметрии гиперболы, который называют просто цептпром еиперболы. Для гиперболы действительнэл ось 2а должна быть не больше, чем фокальное расстояние 2с, так как для треугольника Г1 МГэ (см. рис. 11.7) справедливо неравенство ~1Г,М~ — ~Г,М~~ < !Г,Г,~. Равенство а = с выполнено только для тех точек М, которые лежат на действительной оси симметрии гиперболы вне интервала Г1 Гэ. Отбрасывая этот вырожденный случай, далее будем предполагать, что а < с. Отметим также, что случай а = 0 соответствует геометрическому месту точек, равноудаленных от фиксированных точек Г1 и Гэ.
Как известно иэ курса школьной геометрии, зто геометрическое место представляет собой прямую, перпендикулярную отрезку Г1Гэ и проходящую через его середину. Этот случай мы также не будем рассматривать. 807 ы.2. Пюпербола Уравнение гиперболы. Рассмотрим на плоскости некоторую гиперболу с фокусами в точках Е1 и Яз ы действительной осью 2а. Пусть 2с — фокальное расстояние, 2с= ) р1Ез) > 2а. Согласно замечанию 11.2, гипербола состоит ыз тех точек М(х; у), для которых ~ ЯМ~ — ~РлМ~ ~ = 2а. Выберем прямоуеолькую систему коордииат Оху так, чтобы центр гиперболы ыаходылся в мачале координат, а фокусы располагались на оси абсиисс (рыс. 11.8).
Такую систему координат для рассматриваемой гыперболы называют канонической, а соответствующие переменыые — какокическими. Рыс. 11.6 В канонической сыстеме коордыыат фокусы гиперболы имеют координаты Я~(с; О) ы гз(-с; О). Используя формулу расстояыия между двумя точками, запишем условые ~ ~Р~М) — )ЕзМ) ~ = = 2а в координатах где (х;у) — коордиыаты точки М. Чтобы упростить зто уравнение, избавимся от знака модуля: Д* — ) +у — д + )г+ф =~2, перенесем второй радикал в правую часть н возведем в ква драт: ( — ) +У =( ~.
) +у ~4 Д*+ )~~ у +4 308 Ы. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА После упрощения получим ылы (11.7) где с = с/а. Возведем в квадрат вторично и снова приведем подобные: (с — 1)х — у~ = сг — а или, учитывая равенство с = с/а и полагая ег = сг — аг, х2 уг — — — = 1. аг йг (11.8) хг уг — — — =1 -г а Ьг Величину Ь > 0 называют ммнмоб гголуосью емггерболы. Итак, мы установили, что любая точка на гиперболе с фокусами Рг(с; О) и гг( — с; О) и действительной полуосью а удовлетворяет уравнению (11.8).
Но ыадо также показать, что коордиыаты точек вне гиперболы этому уравыению не удовлетворяют. Для этого мы рассмотрим семейство всех гипербол с даныыми фокусами гг и гг. У этого семейства гипербол оси симметриы являются общимы. Из геометрических соображеыий ясно, что каждая точка плоскости (кроме точек, лежащих на действительыой осы симметрии вне интервала гггг, и точек, лежащих на мнимой оси симметрии) принадлежит некоторой гиперболе семейства, прячем только одной, так как разность расстояний от точки до фокусов гг и гг меняется от гиперболы к гиперболе. Пусть координаты точки М(х; у) удовлетворяют уравненыю (11.8), а сама точка принадлежит гиперболе семейства с некоторым значением а действительной полуоси.
Тогда, как мы доказали, ее координаты удовлетворяют уравнению 309 П.2. Пакр боле Следовательно, система двух уравненый с двумя неизвестными хз у сз — аэ =1, у' — =1 сз — аз аз х' а имеет хотя бы одно решение. Непосредственной проверкой убеждаемся, что при аф а зто невозможно. Действительно, исключив, ыапример, х из первого уравнения: аэ 1 '1 аз (сз — аз) аз сз — а~ / аз ~ з ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ | после преобразований получаем уравнение узсз(а~ — а') (сз — аз) (сз — аз) которое при а у6 а не имеет решений, так как (сэ — а )(сз — а ) = Ь6Ь~ > О. Итак, (11.8) есть уравнение гиперболы с действительыой полу- осью а > 0 и мнимой полуосью Ь= ч/Р-аэ > О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
