Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия. Под ред. В.С.Зарубина, А.П.Крищенко (2-е изд., 2000) (1004035), страница 43
Текст из файла (страница 43)
КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА 318 него угла ромба. Вычисляем зту сумму: ~Ю)Кх~+ ~Я2~РЯ = = (ехо+ анхо — с; уо) + (яхо — а)(хо+ с; уо) = = ((ехо+ а)(хо — с) + (схо —,а)(хо+ с); 2схоуо) = уоо . =(Гг — 2;2е Г1=2с1 —;*Р1=2 1 — '*У)= Видим, что этот вектор коллннеарен вектору е. Гипербола, приведенная к асимнтотам. Если у гиперболы совпадают действнтельная н мннмзл полуоси, т.е. а = 6, то угол между аснмптотамн равен 2агс13(Ь/о) = 2агс131 = я1'2, т.е.
является прямым. Такую 1нперболу называют раеиобочноб. Для нее кроме канонической системы координат, в которой оси коордииа1п совпадают с осямн снмметрнн гиперболы, рассматривают также и другую, осямн которой являются аснмптоты. Выведем уравнение гиперболы в этой системе коордннат, которую обозначим Оху. Пусть я, у — ее репер, з, г', у' — репер канонической системы координат Ох'у' (рнс. 11.16).
Каноническая система координат повернута относительно снстемы Оху на угол х/4. Поэтому (см. 3.2) ~/2. ~/2 . яч = — й+ — я', 2 2 ~Г2. ~Г2 . у' = — — й+ — у'. 2 2 Значит, координаты х', у' канонической системы координат выражаются через координаты х, у с теми же козффнцнентамн: ~/2 у~2 х'= — х+ — у, 2 2 ~/2 ~/2 у' = — — х+ — у. 2 2 313 ы.г.
Гипереоле Уравнение равнобочной гиперболы в канонической системе координат имеет вид (х')з — (у')~ = а~, где а — действительная (она же мнимая) полуось гиперболы. Заменив в этом уравнении канонические переменные на х, у, получим — (х+ у) — — (х — у) = а, з 1 з з 2 2 или а~ ху = —.
2 (11.14) Уравнение (11.14) называют уравнением гиверболы е асиляптпотпах. Рнс. 11.16 Замечание 11.3. Уравнение аз ху=-— 2 задает сопряженную гиперболу для равнобочной гиперболы (11.14). Пример 11.3. Найдем координаты вершин, фокусов и уравнения асимптот гиперболы ху = -8 и построим ее. 22О 11. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА Данное уравнение является уравнением в асимптотах для сопряженной равнобочной гиперболы. Поэтому оси координат, т.е. прямые и =О, у = О, являются ее асимптотами. Для этой гиперболы — аз/2 =-8, поэтому аэ = 16 и а=6=4. Но тогда с = ~/аз+ Р = 44~+ 41 = 4~/2, н, учитывая обозначения вершин и фокусов, находим: А(-2~/2; 2~Г2), В(2~Г2; -2~/2), Р1 (-4; 4), Рз(4; -4) (рис.
1!.17). Рнс. 11.17 11.3. Парабола Рассмотрим на плоскости прямую и точку, не лежащую на этой прямой. И эллипс, и еипербола могут быть определены единым образом как геометрическое место точек, для которых отношение расстояния до данной точки к расстоянию до данной прямой есть постоянны величина е. При О < е < 1 получается эллипс, а при е > 1 — гипербола. Параметр е является эксиеншрисишегааа как эллипса, так и еипербелы. Из возможных положительных значений параметра е одно, а именно е = 1, оказывается незадействованным.
Этому значению соответствует 1 1 ах Парабола 321 геометрическое место точек, равноудаленвых от данной точки и от данной прямой. Определение 11.3. Геометрическое место точек, равно- удаленных от фиксированной точки и от фиксированной прямой, называют параболоб. Фиксированную точку называют фокусом параболы, а прямую — директприсой параболы.
Прн этом полагают, что экецентприеитпетп параболы равен единице. Из геометрических соображений вытекает, что парабола симметрична относительно прямой, перпендикулярной директрисе и проходящей через фокус параболы. Эту прямую называют осью симметрии параболы или просто осью параболы. Парабола пересекается со своей осью симметрии в единственной точке. Эту точку называют вершиной параболы. Она расположена в середине отрезка, соединяющего фокус параболы с точкой пересечения ее оси с ее директрисой (рис.
11.18). ,Уравнение параболы. Для вывода уравнения параболы вы- У берем на плоскости начало координата в вершине параболы, в М качестве оси абсцисс — ось параболы, положительное направле- н ние на которой задается положением фокуса (см. рис. 11.18). Эту систему координат называют канонической для рассматриваемой параболы, а соответствующие переменные — кана- рис. 11.18 нике сними. Обозначим расстояние от фокуса до директрисы через р.
Его называют фояальным параметром параболы. Тогда фокус имеет координаты Г(р/2;0), а директриса б описывается уравнением х = — р/2. Геометрическое место 322 КС КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА точек М(х; у), равноудаленпых от точки Р я от прямой и, задается уравнением (11.15) Возведем уравпеяие (11,15) в квадрат и приведем подобные. Получим уравнение уз = 2рх, (11.16) которое называют «оно«инес«им уравнением параболы. Отметим, что возведение в квадрат в даяяом случае — эквивалептяое преобразование уравиепия (11,15), так как обе части уравиепия яеотрицательяы, как и выражение под радикалом.
Вид параболы. Если параболу уз = х, вид которой считаем известным, сжать с козффициеитом 1/(2р) вдоль ося абсцисс, то получится парабола общего вида, которая описывается уравнением (11.16). Пример 11.4. Найдем координаты фокуса и уравнение директрисы параболы, если ояа проходит через точку, канояические координаты которой (25;10). В каяояяческих коордянатах уравнение параболы ямеет вид уз = 2рх.
Поскольку точка (25;10) иаходится иа параболе, то 100 = 50р и поэтому р = 2. Следовательно, уз =4х является каноническим уравяеяием параболы, х = -1 — уравнеяяем ее директрисы, а фокус яаходится в точке (1;О). Оптическое свойство параболы. Парабола имеет следующее онпьнчес«ое сеобс«ьво. Если в фокус параболы поместить источник света, то все световые лучи после отражеиия от параболы будут параллельны оси параболы (ряс. 11.19). Оптическое свойство озяачает, что в любой точке М параболы нормальный вектиор касательной составляет с фокальяым радиусом МР и осью абсцисс одинаковые углы. Проверим зто.
Выберем произвольную точку М(хо, уо) па параболе, опясываемой уравнением (11.16). Рассматривая в Ы.4. Неполные уравнении кривой второго оорадка 323 уравнении (11.16) переменное х как функцию у (х = рз/(2р)), запишем уравнение касательной в точке М: х — хо = х'(уо) (р — уо) Поскольку х' = у/р, то х'(уо) = уо/р. Подставляем выражение для производной в уравнение касательной х — хо = уе(р — уо)/р и получаем рх — рхо = уоу — роз.
Координаты точки М удовлетворяют уравнению параболы, т.е. роз = 2рхо. Значит, уравнение касательной можно записать в виде рх — 1я»у+рхо=О. По уравнению касательной находим ее нормольный вектор в точке М: и = (р;-ув). Убедимся, что этот вектор коллинеарен вектору Мг'+»МГ»а, который направлен вдоль биссектрисы угла, образованного прямым и отраженным лучами (й — ори», задающий направление оси Ох). Отметим, что, согласно (11.15), расстояние Мг' равно хо+ р/2. Рис.
11.19 Поэтому МФ+ $МГ/г = (- — хо' -уо) + (хо+ р/2)(1; 01 = (р; -1я»~, т.е. этот вектор совпадает с выбранным нормальным вектором касательной. 11.4. Неполные уравнении кривой второго порадка Если в уравнении Ахз+Вху+Суз+Вх+Еу+г О Аг+Вз+Сз~б (1117) кривой оп»орого порядка на плоскости либо В = О (нет слагаемого с произведением переменных), либо А = С = О (нет слагаемых с квадратами переменных), то такое уравнение называют не»»олнььм. 324 Кс КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА Неполное уравнение второго порядка при помощи параллельного переноса системы координат и, возможно, дополнительного поворота системы координат на плоскости на угол к/2, — к/2 или х можно преобразовать либо в каноническое уравнение эллипса, либо в каноническое уравнение гиперболы, либо в каноническое уравнение параболы, либо в уравнение гиперболы в асимптотах.
Кроме того, есть особые случаи, когда уравнение не сводится ни к одному из вышеперечисленных (случаи вырождения кривой второго порядка). Замечание 11.4. Поворот системы координат на плоскости Оху на угол к/2 (-к/2, к) соответствует введению новых переменных х=у, у=-х, (х=-у, у=х; х=-х, у=-у). Такие замены переменных удобно называть переобознанени,вми переменных. Рассмотрим преобразование неполного уравнения кривой второго порядка. Если уравнение второго порядка не содержит слагаемого с произведением переменных (В = 0), то для его преобразования используют выделение полного квадрата по каждому из переменных, которые входят в уравнение но второи и в первой степени.
Напомним, что дяя квадратного трехчлена ах + Ьх+ с, а ~ О, выделением полного квадрата по х называют следующее его тождественное преобразование: / Ь 1 / Ь Ьз Ьз ~ ах +Ьх+с=а~х +-х) +с=а~х +2 — х+ — — — )+с= а ) ~, 2а 4аз 4аз) 3 Ь Ьз 1 Ьз =а х +2 — х+ — ) — — +с=а(х — хо) +д, 3 2а 4аз) 4а где хо = — Ь/(2а); д = с — Ьз/(4а). При В = 0 возможны три варианта. 1. В первом варианте при А~О и С~ 0 уравнение (11.17) путем выделения полного квадрата по х (при В ф 0) и по у (при В~О) приводится к виду А(х — хо)з+ С(у уо)г Рг (11.18) 11зк Неполпые урввпеппв крпвой второго передка 325 где Р Е Г22 Е2 — — — Г'= -Г+ — + —. 2А' 2С' 4А 4С Если в (11.18) г» ~~ О, то, введя обозначения а2 = 1ге~/~А~, Ь2 = ~Г'~/)С) и учитывал знаки козффициентов в (11.18), приходим к одному из следующих четырех уравнений: (х — хо)2 (у — уо)2 а2 Ь2 (х — хо) (у — уо) аг Ь2 (х — хо)2 (у — уо)2 а2 Ь2 (х — ХО)2 (у уО)2 22 + Ь2 = -1.
Геомеп2ричесхпм образом последнего уравнения является пустое множество, которое иногда называют,мнимым зллипсом. Первое (второе, третье) из зтих уравнений называют смещенным уравнением гиперболы (сопрлнсенноб гиперболы, эллипса), поскольку после параллельного переноса системы координат х =х — хо, у =у — уо ! 2 в новых переменных эти уравнения примут соответственно вид Отметим, что среди последних трех уравнений канонический вид всегда имеют первые два и третье (при а ) Ь) уравнения.
(х )2 а2 ( ')' а2 (х') 2 — + а2 — =1 (у')' Ь 2 (у')' — =-1 Ь2 (у')' — = 1. Ь2 326 Кь КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА Если же в последнем уравнении а и и удовлетворяют неравенству а < о, то это уравнение примет канонический вид после переобозначения переменных х = р', у = -х'. Если в уравнении (11.18) Р' = О, то оно имеет вид А(х — хо) +С(у-уо) =О. Геометрическим образом этого уравнения при АС > 0 будет точка с координатами (хо, 'до), а при АС < Π— пара пересекающихся прямых ДА~(х — хо) ~ ДС~(у — уо) = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
