Основные сведения из теории вероятностей и математической статистики
2. Основные сведения из теории вероятностей и математической статистики
Различают вероятностные (математические) и статистические показатели надежности. Математические показатели надежности выводятся из теоретических функций распределения вероятностей отказов. Статистические показатели надежности определяются при испытаниях оборудования и на базе статистических данных по его эксплуатации.
Основными в теории вероятностей являются понятия о случайном событии и случайной величине.
Случайное событие - это такое событие, которое в течение заданного времени может произойти, а может и не произойти. Характерным признаком случайного события является то, что оно принадлежит к категории массовых явлений, т.е. существует возможность неоднократного повторения опыта в данных условиях. Простейшим примером является бросание монеты – выпадение «орла» или «решки».
Примерами случайного события, которые используются в прикладной теории надежности, являются :
а)событие, заключающееся в том, что на интервале времени от 0 до t устройство постоянно находится в работоспособном состоянии. Вероятность такого события обозначим Р( t ) ;
б)событие, состоящее в том, что на том же интервале времени устройство может перейти в состояние отказа. Вероятность этого события обозначим Q( t ) . Очевидно, что эти два события дополняют друг друга, поэтому
Р(t) + Q(t) = 1. (1)
Частота случайного события (статистическая вероятность события) - это отношение числа n появления данного события к числу всех проведенных опытов N.
Рекомендуемые материалы
Вероятность случайного события - это теоретическая частота событий, около которой имеет тенденцию стабилизироваться действительная частота событий при большом числе повторений опытов в данных условиях.
Два события называются несовместимыми в данном опыте, если они не могут появиться совместно.
В основе теории вероятностей лежит ряд теорем, используемых при расчетах надежности сложных технических устройств. Важнейшие из них - теорема о сумме событий, теорема о произведении событий.
Теорема о сумме событий. Вероятность суммы несовместимых событий (например, двух событий А и В), т.е. вероятность того, что из всех возможных событий появится хотя бы одно из них ( логика «или» ), равна сумме вероятностей этих событий:
P(A+B) = P(A) + P(B) (2)
Теорема о произведении событий. Вероятность произведения независимых событий (например, двух событий А и В), т.е. вероятность того, что в опыте события появятся обязательно вместе ( логика «и» ), равна произведению их вероятностей :
Р(А*В)=Р(А) ∙ P(B) (3)
Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта (при эксплуатации оборудования) может принимать то или иное значение, неизвестное заранее. Примером случайной величины может быть наработка изделия в часах до отказа.
Различают непрерывные и дискретные случайные величины. Непрерывные случайные величины могут принимать любые значения на числовой оси. Например, это упомянутая выше наработка устройства на отказ. Возможные значения дискретных случайных величин целочисленны. Например, это число отказавших устройств в течение заданного интервала времени.
Случайная величина полностью описывается с вероятностной точки зрения, если известен закон распределения вероятности ее появления.
Законом распределения вероятности случайной величины называется соотношение между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.
Существует интегральная и дифференциальная формы закона распределения вероятностей.
1) Функция распределения случайной величины (интегральная форма) – это вероятность того, что случайная величина X может принимать значения только меньше x :
F(х) = Р(Х< х ) (4)
2) Плотность вероятности случайной величины (дифференциальная форма) - это производная от F ( х ) по х :
f(x) = 
(5)
Очевидно, что существует и обратная связь
F(x) = 
(6)
Величины, определяющие форму закона распределения случайной величины (смещение центра группирования значений случайной величины, рассеяние величин относительно центра группирования ), называются параметрами закона распределения.
Такими параметрами закона распределения, используемыми в практике расчетов надежности, являются: среднее значение случайной величины, дисперсия, интенсивность.
Математическое выражение для среднего значения случайной величины М [ х ] ( математическое ожидание ) имеет вид:
М [ х ]= 
(7)
Статистическое определение среднего значения случайной величины:
М [ х ]= 
, (8)
где xi – i - ое опытное значение случайной величины, n - число опытов.
Математическое выражение для дисперсии закона распределения имеет вид:
D(x) = 
(9)
Статистическое определение дисперсии:
D(x) = 
(10)
Известен ряд законов распределения случайных величин:
Биноминальный закон распределения. Если вероятность появления события А в одном опыте равна р, вероятность непоявления события равна q = 1 - р , число независимых опытов равно m, то вероятность появления в этих опытах n событий равна
(11)
где С 
- число сочетаний из m по n.
Свойства биноминального распределения следующие:
1) математическое ожидание числа событий равно m p;
2) дисперсия числа событий равна mр(1-p);
3) при увеличении числа опытов биноминальное распределение приближается к нормальному со средним значением n/m и дисперсией
р(1 -р) / m.
Закон Пуассона. Случайные события, следующие одно за другим в некоторой последовательности, образуют поток случайных событий. Например, отказы оборудования образуют поток отказов. Если развитие процесса появления событий не зависит от того, как этот процесс протекал в прошлом, то это поток без последствия. Если число событий в единицу времени остается постоянным, то поток называется стационарным. Для стационарного потока без последействия вероятность числа n случайных событий за время t определяется законом Пуассона:
Pn(t) = 
(12) где λ - интенсивность появления случайного события (среднее число событий в единицу времени).
Свойства распределения Пуассона следующие :
1) математическое ожидание числа событий за время t равно λ t ;
2) дисперсия числа событий равна математическому ожиданию, этот характерный признак распределения Пуассона используется для проверки степени соответствия опытного распределения с распределением Пуассона;
3) распределение Пуассона получается из биноминального распределения, если число испытаний n неограниченно возрастает.
Экспоненциальный закон распределения случайной величины. Функция распределения вероятностей имеет вид:
F(x) = 1 – e –λ x (13)
Плотность вероятности:
f(x) = λ e –λ x (14)
Интенсивность ( среднее число событий в единицу времени):
(15)
Если t - время до возникновения отказа, то вероятность того, что за время t возникнет отказ, будет равна
Q(t) = 1 – e -λ t , (16)
а плотностъ вероятности отказа в момент времени t будет равна
f(t) = λ e -λ t (17)
Вероятность того, что за время t отказ не возникнет,
P(t) = 1 – Q(t) = e -λ t (18)
Изменение величин Q(t) и P(t) представлено на рис.1.
1
 |
P(t) Q(t)
 | |||
 |
t
рис.1
Среднее значение времени работы до первого отказа и дисперсия времени работы будут, соответственно, равны
T ср = M[t] = 
= 
= 
(19)
D(t) = 
= 
= 
Статистические материалы об отказах оборудования свидетельствуют о том, что, в основном, время работы этого оборудования для нормального периода эксплуатации, т. е. до возникновения износовых отказов, подчиняется экспоненциальному закону.
Признаком экспоненциального закона распределения времени до отказа служит постоянство интенсивности отказов на интервале времени, когда период приработки оборудования закончился, а период износа и старения еще не начался. Также постоянной становится интенсивность отказов оборудования, если она вызывается отказами большого числа составляющих элементов, отказ каждого из которых приводит к отказу устройства. Этими обстоятельствами, а также тем, что предположение об экспоненциальном распределении времени до отказа существенно упрощает расчеты показателей надежности, не вызывая существенных погрешностей, объясняется широкое распространение экспоненциального закона в инженерной практике расчетов по надежности.
Ещё посмотрите лекцию "Чем психологическое консультирование отличается от других видов практической психологической помощи человеку" по этой теме.
Нормальный закон распределения случайной величины. Для случайной величины времени t до отказа оборудования функция распределения определяется формулой:
Q(t) = 
(20)
Плотность вероятности отказа для t :
f(t) = 
, (21)
где Т - среднее значение t, а σ - среднеквадратичное отклонение, σ =
. Интенсивность отказов монотонно возрастает и после t = Т начинает приближаться к асимптоте 
. Монотонное возрастание λ (t) - характерный признак нормального распределения. Нормальному распределению подчиняется время появления износовых отказов.
Экспоненциальный и нормальный законы составляют своеобразные крайние положения: экспоненциальный закон имеет резко выраженный асимметричный характер плотности вероятности f(t) и постоянное значение λ, нормальный закон - строго симметричный характер f(t) и монотонное возрастание λ. Инженерная практика, конечно, встречается и с другими промежуточными законами распределения, но в данном пособии мы на них не останавливаемся. Для водопроводного и канализационного оборудования и сооружений, как правило, характерен экспоненциальный закон распределения случайного времени их работы.
