Случайные меры

§13 Случайные меры.

13.1. Напомним определение  - конечной меры.

Определение. Мера  называется s - конечной, если для любого замкнутого ограниченного множества существует последовательность множеств , где , такая, что: a)  при , б) .

Определение. Мера  называется случайной и обозначается , где , если:

 а) при фиксированных w и A как функция t является случайным процессом, б) при фиксированных w и t s - конечная мера, в) для .

Пусть - измеримая функция такая, что определён интеграл Лебега  обозначаемый .

Обозначим .

Определение. Случайная мера m называется опциональной (предсказуемой), если для любой неотрицательной  - измеримой функции Х процесс  является опциональным (предсказуемым).

Рекомендуемые материалы

13.2. Обозначим .

Определение. Меру  назовем мерой Долиан, если .

Отсюда следует, что для всякой неотрицательной - измеримой функции X(w, t, x) определен интеграл по мере Долиан:

.

Определение. Мера Долиан  называется конечной, если . Определение. Будем говорить, что опциональная случайная мера m принадлежит классу (пишем ), если .

Определение. Mepa Долиан  называется  -  s-конечной, если существует последовательность множеств таких, что , где , и  для .

Определение. Будем говорить, что опциональная случайная мера  принадлежит классу  (пишем ) если , где   и .

Очевидно следующее утверждение.

Теорема 42. .

13.3. Определение. Будем говорить, что случайные меры  и  совпадают Р - п. н. (пишем ), если для любой неотрицательной - измеримой функции Х .

Из этого определения следует утверждение.

Предложение 43, Пусть  и  - опциональные случайные меры такие, что:

а)  для любой - измеримой X; б) хотя бы одна из них принадлежит . Тогда .

13.4. Определение. Компенсатором опциональной случайной меры  называется предсказуемая мера (т. е. ) такая, что для любой неотрицательной, - измеримой функции Х(, t, х) .

Теорема 44. У всякой опциональной случайной меры  существует и притом единственный компенсатор , т. е.  (с точностью до нулевой меры Р). (Доказательство следует из теоремы Дуба - Мейера).

13.5. Определение. Случайная мера  называется целочисленной, если:

1)  для всех  и ;

2) для  принимает значения в ;

3) для фиксированных   - -конечная мера;                       

Вам также может быть полезна лекция "Ультразвуковая анатомия селезенки".

4) для фиксированных  - опциональный процесс.

Следующая теорема вытекает из определения целочисленной случайной меры и теорем 13 и 23.

Теорема 45. Пусть  - целочисленная случайная мера, тогда существует мно­жество D и опциональный случайный процесс со значениями в Е такие, что , где - мера Дирака сосредоточенная в точке . Если - последовательность моментов остановки, исчерпывающая тонкое множество D, то для любой неотрицательной  - измеримой функции спра­ведливо равенство

 Р - п. н.

Следствие 46.   Пусть  - опциональный процесс со значениями в R^d. То­гда формула  определяет целочис-ленную случайную меру на .