Распределения F и t

5.4. Распределения F и t

Центральное и нецентральное распределения F

В разделе 1.13 дано определение центрального распределения F на основе выборочных дисперсий. Для совокупностей случайных переменных, распределённых по нормальному закону, центральное распределение F определяется так. Если случайная переменная u распределена по закону c²(п), а случайная переменная v распределена по закону c²(т) и эти переменные статистически независимы, то переменная

w=                                                        (5.4.1)

распределена по закону F(п, т) центрального распределения F с п и т степенями свободы. Математическое ожидание и дисперсия случайной переменной w находятся соответственно по формулам

E(w)= и D(w)=.                              (5.4.2)

Функция плотности вероятности центрального распределения F(p, q) имеет вид [Johnson c соавт. (1995) Vol.2, стр.325]

p_F(w)=.

На Рис.5.4.1 синей кривой показан график функции плотности вероятности случайной переменной, имеющей распределение F со степенями свободы п=7 и т=8.

Рекомендуемые материалы

Из рисунка видно, что, как и случайная переменная с распределением c², имеющая центральное распределение F случайная переменная принимает только неотрицательные значения. Центральное распределение F определяется двумя параметрами; числом п степеней свободы числителя и числом т степеней свободы знаменателя. При этом в записи F(п, т) первым всегда стоит число степеней свободы числителя.

Рис.5.4.1. Графики функций плотности вероятности распределений: центрального F(п, т) синим цветом и нецентрального F(п, т, g) красным цветом.

Теперь допустим, что случайная переменная u распределена по закону нецентрального распределения c²(п, g), в то время как случайная переменная v остается распределенной по центральному распределению c²(т), и эти переменные статистически независимы. Тогда переменная

w^*=                                                       (5.4.3)

распределена по закону F(п, т, g) нецентрального распределения F с параметром не центральности g, являющимся тем же параметром не центральности, что и в нецентральном распределении c² случайной переменной u. Математическое ожидание переменной w^* находится по формуле

E(w^*)=,                                             (5.4.4)

из которой видно, что E(w^*) больше, чем E(w) в (5.4.2).

Функция плотности вероятности нецентрального распределения F(п, т, g) имеет вид [Kay (1998) cтр. 29]

р_F*(w)=e^–γ/2.

График функции плотности вероятности нецентрального распределения F(п, т, g) показан на Рис.5.4.1 красной кривой. При его расчёте в программе Mathcad 13 вместо бесконечности в сумме бралось число 145, так как при больших числах программа даёт ошибку о получении число большего 10³⁰⁷, которое является постоянной бесконечности для этой программы.

Центральное и нецентральное распределения t

В разделе 1.10 дано определение центрального распределения t на основе выборочного стандартного отклонения. В общем, если случайная переменная z имеет стандартное нормальное распределение N(0, 1), а случайная переменная u имеет распределение c²(т) и они статистически независимы, то, по определению, переменная

t_z=                                                                  (5.4.6)

имеет распределение t(т), то есть имеет центральное распределение t с т степенями свободы.

Функция плотности вероятности центрального распределения t(т) имеет вид [Johnson c соавт. (1995) Vol.2, стр.363]

р_t(t)=.

График функцию плотности вероятности центрального распределения t с т=5 степенями свободы показан на Рис.5.4.2 синей кривой.

Рис.5.4.2. Синяя и красная кривые графиков функций плотности вероятности соответственно центрального и нецентрального распределений t.

Математическое ожидание имеющей центральное распределение t переменной всегда равно нулю и не зависит от параметра т распределения. При т>2, дисперсия случайной переменной t_z находится по формуле D(t_z)=т/(т–2). Из неё видно, что при увеличении числа степеней свободы дисперсия стремится к единице.

Теперь пусть случайная переменная (у) имеет нормальное распределение N(y, 1), а случайная переменная u имеет распределение c²(т) и эти переменные статистически независимы. Тогда случайная переменная

t_у=                                                      (5.4.7)

имеет распределение t(т, y), то есть, нецентральное распределение t с т степенями свободы и параметром не центральности y. Если же случайная переменная (у) имеет нормальное распределение N(y, s²), то случайная переменная

t_у*=                                                    (5.4.8)

имеет распределение t(т, y/s), так как, в силу (3.2.6), (3.2.8) и по пункту 1 теоремы 4.5.2, отношение у/s~N(y/s, 1).

Функция плотности вероятности распределения t(т, y) имеет вид

р_t*(t)=.

График этой функций плотности вероятности показан на Рис. 5.4.2 красной кривой. При этом нецентральное распределение имеет тоже т=5 степеней свободы и параметр не центральности y=1.

Лекция "РАССЕЛ Бертран" также может быть Вам полезна.

В силу (5.4.6), статистика t_z= имеет центральное распределение t(т). Если возвести в квадрат эту статистику , то, в силу (5.3.1), переменная z² в числителе приобретает распределение c²(1), а переменная u имеет распределение c²(т) и эти переменные статистически независимы. Следовательно, статистика

t_z²=                                                        (5.4.9)

имеет распределение F(1, т).

В силу (5.4.7), статистика t_у= имеет нецентральное распределение t(т, y). Если возвести в квадрат t_у, то в числителе переменная у² приобретает нецентральное распределение c²(1, y ²/2), а переменная u имеет распределение c²(т) и эти переменные статистически независимы. Следовательно, статистика

t_у²=                                                          (5.4.10)

имеет нецентральное распределение F(1, т, y ²/2).