Планы экспериментов из восьми опытов

12.4. Планы экспериментов из восьми опытов

Для рассмотренных в этой главе факторных планов экспериментов из восьми опытов важно понять, что все двухуровневые регулярные неполные факторные планы из восьми опытов с числом факторов до семи могут быть созданы на основе, показанной в таблице 12.4.1 матрицы уровней с ортогональными столбцами. Эта матрица получается записью в стандартном порядке столбцов уровней трёх нормированных факторов х₁, х₂ и х₃, а также полученных на их основе с использованием произведения Адамара столбцов уровней взаимодействий между этими факторами. В таблице 12.4.2 показано как эта матрица с ортогональными столбцами используется для создания планов 2_IV^4–1 и 2_III^7–4.

Присваивая факторам х₁, х₂, ..., х₇ уровни соответственно семи столбцов х₁, х₂, …, х₁₂₃, получаем насыщенный план 2_III^7–4. В нём матрица уровней из таблицы 12.4.1 используется для максимального числа факторов. Любой другой дробный план из восьми опытов может быть получен исключением некоторых столбцов из этого семифакторного основного плана. Например, если не использовать столбцы х₁₂, х₁₃ и х₂₃ уровней взаимодействий исходных факторов для уровней новых факторов х₄, х₅ и х₆, то получается план 2_IV^4–1 для факторов х₁, х₂, х₃ и х₄. Планы 2_III^5–2 и 2_III^6–3 для изучения соответственно пяти и шести факторов в эксперименте из восьми опытов могут быть получены использованием одного или двух столбцов х₁₂, х₁₃ и х₂₃ уровней двухфакторных взаимодействий для уровней новых факторов х₅ и х₆.

Таблица 12.4.1. Матрица уровней для создания дробных планов из восьми опытов

Таблица 12.4.2. Ортогональные векторы уровней и соответствующие им факторы в узловых планах экспериментов из восьми опытов

Четырёхфакторный план 2_IV^4–1 и семифакторный план 2_III^7–4 называются узловыми планами, так как при восьми опытах и данной разрешающей способности они включают наибольшее число факторов. Структуры совместных воздействий для семифакторного узлового плана эксперимента показаны в таблице 12.3.3, а структуры совместных воздействий для четырёхфакторного узлового плана эксперимента получаются на основе таблицы 12.2.2.

Последовательное экспериментирование

Среди статистических методов экспериментальных исследований описываемый в книгах метод постановки одного эксперимента подходит в ситуации, где окончательные решения должны делаться на основе данных только этого эксперимента, который не может быть продолжен. В социальных науках существует много таких ситуаций, и такой эксперимент является единственно возможным. Но это нетак для промышленных и инженерных исследований. Цель нашего изложения показать большую ценность планируемого экспериментирования в качестве средства ускорения последовательного процесса научного познания.

Необходимо помнить, что при планируемом экспериментировании, как и при любом исследовании, делается ряд предположений, которые сильно влияют на его выполнение. Необходимость этих предположений никак не связана с использованием статистического плана эксперимента. Они должны делаться при любом методе экспериментирования. В начале эти предположения содержат следующее: какие факторы включать в исследование, какие отклики измерять, где расположить область эксперимента, как изменять факторы, а когда данные получены, то, как продолжить. При постановке одного эксперимента все эти предположения рассматриваются как предварительно заданные.

Однако, очевидно, что разные экспериментаторы сделают разные предположения. Поэтому целью любой методологии последовательного экспериментирования не может быть уникальность, а скорее стратегия, которая вероятно приведёт к полезному решению. Структурное экспериментирование может дать экспериментатору наиболее ясную информацию о воздействиях факторов и их взаимодействий на каждый из разных откликов. Возможность сделать второе предположение предоставляет наилучший шанс понять, что происходит. Специалист предметной области исследования может строить на этом своё понимание. Ничто не может устранить неопределённость, но профессиональное интерактивное использование соответствующих методов может чрезвычайно уменьшить её влияние.

В этой связи нет необходимости отвечать на все вопросы постановкой одного эксперимента. Меньшие эксперименты, которые последовательно сокращают число неопределённостей и ведут к большей ясности, являются намного более эффективными. Таким же образом малое число тщательно выбранных опытов не обязательно ведут к однозначному объяснению. Когда они сами ещё не дают данные для решения проблемы, то они могут служить для устранения большого числа неопределённостей и дают основу для дальнейших предположений.

Оценка отделённых воздействий факторов

Когда результаты выполняемых по неполным планам экспериментов дают неясности, то могут понадобиться дополнительные опыты. Для этого одним из используемых методов в последовательном экспериментировании является метод планирования дополнительных опытов путём изменения знаков уровней на противоположные в столбцах матрицы имеющегося неполного плана. Описание и примеры использования этого метода путём изменения знаков на противоположные для уровней факторов и оценки воздействий факторов, отделённых от воздействий двухфакторных взаимодействий, приводятся в [Box с соавт. (2005) стр.249; Box, Draper (2007) стр.142]. Процедура оценки воздействия одного фактора или воздействий группы факторов, отделённых от воздействий факторных взаимодействий, может использоваться для любой части или всего исходного дробного плана.

В эксперименте с пневматическим преобразователем линейных перемещений из раздела 12.3 важно было выявить активные факторы. Для этого использовался представленный в таблице 12.3.2 узловой план 2_III^7–4 эксперимента из восьми опытов. Опыты проводились в случайной последовательности, и было замечено, что в опытах 2 и 6 получалось наименьшее усреднённое время срабатывания. В этих опытах активные факторы х₁ эффективной площади мембраны и х₂ проходного сечения дросселя сопло-заслонка устанавливались соответственно на верхнем и нижнем уровнях. Поэтому было возможно, что допустимые увеличение эффективной площади мембраны и уменьшение проходного сечения дросселя сопло-заслонка ведут к уменьшению времени срабатывания. Однако другие активные факторы х₃ проходного сечения входного дросселя камеры противодавления и х₇ давления сжатого воздуха на входе в преобразователь в опыте 6 устанавливались соответственно на верхнем и нижнем уровнях, а в опыте 2 на нижнем и верхнем уровнях. Поэтому влияние этих факторов на время срабатывания было неясным и для лучшего понимания того, что происходит, были необходимы дополнительные опыты.

В таблице 12.3.3 показаны структуры совместных воздействий и результаты их оценки. Четыре значения b₁, b₂, b₃ и b₇ являются большими. Но структуры совместных воздействий показывают, что воздействие фактора х₃ совмещено с воздействиями β₁₅, β₂₆, β₄₇ от взаимодействий активных факторов х₁, х₂ и х₇ с неактивными факторами х₄, х₅ и х₆, а воздействие фактора х₇ совмещено с воздействиями β₁₆, β₂₅, β₃₄ от взаимодействий активных с неактивными факторами. Может некоторые воздействия от взаимодействий активных факторов с неактивными здесь являются большими?

Из-за указанных неопределённостей в случае эксперимента по неполному плану разрешающей способности III рекомендуется ставить дополнительные опыты [Box, Draper (2007) стр.140]. Поэтому было решено выполнить восемь дополнительных опытов по плану, получаемому посредством изменения на противоположные всех знаков уровней семи столбцов матрицы исходного плана в таблице 12.3.2. Таким образом, знаки элементов семи столбцов вновь созданной матрицы плана были изменены на обратные тем, которые в матрице исходного плана. В таблице 12.4.3 показан полученный таким образом план вместе с новыми данными, проведённого по этому плану эксперимента.

Таблица 12.4.3. Дополнительный план из восьми опытов и их результаты для изучения влияний семи факторов и их парных взаимодействий

Полным определяющим отношением для узлового плана 2_III^7–4 является 1=х₁◦х₂◦х₄ =х₁◦х₃◦х₅=х₂◦х₃◦х₆=х₁◦х₂◦х₃◦х₇=х₂◦х₃◦х₄◦х₅ =х₁◦х₃◦х₄◦х₆ =х₃◦х₄◦х₇ =х₁◦х₂◦х₅◦х₆ =х₂◦х₅◦х₇ =х₁◦х₆◦х₇=х₄◦х₅◦х₆ =х₁◦х₄◦х₅◦х₇ =х₂◦х₄◦х₆◦х₇=х₃◦х₅◦х₆◦х₇ =х₁◦х₂◦х₃◦х₄◦х₅◦х₆◦х₇. Полное определяющее отношение для дополнительного узлового плана 2_III^7–4 отличается знаками минус у членов с нечётным числом сомножителей, то есть, имеем 1=–х₁◦х₂◦х₄=–х₁◦х₃◦х₅    =–х₂◦х₃◦х₆=х₁◦х₂◦х₃◦х₇=х₂◦х₃◦х₄◦х₅ =х₁◦х₃◦х₄◦х₆ =–х₃◦х₄◦х₇ =х₁◦х₂◦х₅◦х₆=–х₂◦х₅◦х₇ =–х₁◦х₆◦х₇  =–х₄◦х₅◦х₆ =х₁◦х₄◦х₅◦х₇=х₂◦х₄◦х₆◦х₇=х₃◦х₅◦х₆◦х₇ =–х₁◦х₂◦х₃◦х₄◦х₅◦х₆◦х₇. Если это определяющее отношение умножить на х₁ и считать, что все трёхфакторные и более высокого порядка взаимодействия дают пренебрежимо малые воздействия, то соответствующие им члены определяющего отношения можно сократить и на основе оставшихся х₁=–х₂◦х₄=–х₃◦х₅=–х₆◦х₇ получается сокращенная структура β₁–β₂₄–β₃₅–β₆₇ совместных воздействий фактора х₁ и двухфакторных взаимодействий. Сокращённые структуры совместных воздействий всех остальных факторов и двухфакторных взаимодействий приведены в таблице 12.4.4.

Оценка совместных воздействий факторов и двухфакторных взаимодействий делается методом наименьших квадратов с использованием постулируемой модели у=β₀'+β₁'х₁+β₂'х₂+β₃'х₃+β₄'х₄+β₅'х₅+β₆'х₆+β₇'х₇+ε и вектора  усреднённых значений переменных отклика из таблицы 12.4.4. Найденные результаты оценки представлены в таблице 12.4.4.

Как и для исходного плана, для дополнительного плана структуры совместных воздействий факторов и их двухфакторных взаимодействий можно установить на основе матрицы совмещения воздействий. Эта матрица для дополнительного плана показана в таблице 12.4.5. В ней все коэффициенты с отрицательными знаками.

С целью отделения воздействий факторов от воздействий их двухфакторных взаимодействий находят усреднённые структур совместных воздействий полученных для начального и дополнительного экспериментов. Затем то же делается с результатами оценки структур совместных воздействий начального и дополнительного экспериментов. В таблице 12.4.6 показано, что при таких усреднениях воздействия двухфакторных взаимодействий сокращаются и получаются только воздействия факторов. Кроме этого, если найти половины разностей структур совместных воздействий и результатов их оценки для указанных экспериментов, то получаются структуры только совместных воздействий двухфакторных взаимодействий и результаты их оценки, что также показано в таблице 12.4.6.

Таблица 12.4.4. Структуры совместных воздействий факторов и двухфакторных взаимодействий и результаты их оценки по данным дополнительного эксперимента по плану 2_III^7–4

Таблица 12.4.5. Матрица коэффициентов совмещения воздействий для дополнительного эксперимента по плану 2_III^7–4

Таблица 12.4.6. Оценка воздействий по результатам двух экспериментов

Объединение двух экспериментов и анализ результатов

Совокупность опытов начального и дополнительного экспериментов можно считать объединённым экспериментом и в нём все опыты повторялись трижды. Два эксперимента можно рассматривать как два блока по 8 опытов и оценить воздействие фактора х₈ блоков, как показано в таблице 12.4.6.

Матрицу плана объединённого эксперимента можно представить в виде Х₂=, где Х₁ – матрица плана начального эксперимента. Модель эксперимента по такому плану имеет вид

у=β₀+β₁х₁+β₂х₂+β₃х₃+β₄х₄+β₅х₅+β₆х₆+β₇х₇+β₂₄х₂₄+β₁₄х₁₄+β₁₅х₁₅

+β₁₂х₁₂+β₁₃х₁₃+β₂₃х₂₃+β₃₄х₃₄+β₈х₈+ε,                         (12.4.1)

где фактор х₂₄ имеет вектор уровней такой же, как факторы х₃₅ и х₆₇. Поэтому он представляет структуру х₂₄+х₃₅+х₆₇ совместных двухфакторных воздействий. Фактор х₁₄ по той же причине представляет структуру х₁₄+х₃₆+х₅₇, фактор х₁₅ – структуру х₁₅+х₂₆+х₄₇, фактор х₁₂ – структуру х₁₂+х₅₆+х₃₇, фактор х₁₃ - структуру х₁₃+х₄₆+х₂₇, фактор х₂₃ – структуру х₂₃+х₄₅+х₁₇, фактор х₃₄ – структуру х₃₄+х₂₅+х₁₆ и х₈ - фактор блоков.

Матрица модели этого эксперимента имеет вид Х=[1  X₂  х₂₄  х₁₄  х₁₅  х₁₂  х₁₃  х₂₃  х₃₄  x₈], где x₈ - вектор уровней фактора блоков, в котором первые восемь элементов равны +1, а остальные восемь равны –1. Векторы х₂₄, х₁₄, х₁₅, х₁₂, х₁₃, х₂₃ и х₃₄ являются векторами уровней первых двухфакторных взаимодействий структур совместных двухфакторных воздействий. Вектор усреднённых значений переменных отклика в этом эксперименте =, где векторы  и  взяты из таблиц 12.3.2 и 12.4.4. Вектор оценки параметров этой модели вычисляется методом наименьших квадратов по формуле =(Х^ТХ)^–1Х^Т и

^Т=[117,896  –14,521  13,312  –9,479  4,021  2,062  –0,604  –7,146  1,271

1,271  –0,354  –1,104  0,937  1,937  –1,187  0,688].                       (12.4.2)

Элементы этого вектора совпадают с полученными в таблице 12.4.7 результатами оценки воздействий факторов и структур совместных двухфакторных взаимодействий.

Рекомендация для Вас - Деятельность государства по созданию благоприятных экономических условий для сельскохозяйственных производителей.

Фактор блоков является восьмым фактором объединённого эксперимента. Поэтому этот эксперимент имеет план 2_IV^8–4 с матрицей [X₂  x₈]. Для данного эксперимента, также как и для начального, можно найти стандартную ошибку результатов оценки воздействий на отклик. Она получена равной ±0,949. Сравнение найденных результатов оценки воздействий с их стандартной ошибкой показывает, что представленные в таблице 12.4.6 жирным шрифтом пять результатов оценки воздействий факторов х₁, х₂, х₃, х₄ и х₇ явно выделяются из шума. В итоге получается, что активными являются пять факторов.

Для выявления реальных воздействий можно использовать и графический метод. Для найденных результатов оценки воздействий можно построить график кумулятивных вероятностей их распределения, как и для найденных с использованием полного факторного плана результатов оценки в разделе 11.3. Для результатов оценки из таблицы 12.4.6 такой график показан на Рис.12.4.1. На графике видно, что пять воздействий факторов х₁, х₂, х₃, х₄ и х₇ выделяются из шума создаваемого воздействиями факторов х₈, х₅ и х₆, а также структурами совместных двухфакторных взаимодействий.

Применение рассмотренного метода отделения воздействий факторов с воздействий двухфакторных взаимодействий в данном случае привело к появлению ещё одного активного фактора х₄ - объём рабочей камеры. Этот метод также показывает, как неполные факторные планы используются в последовательном экспериментировании. Начальный эксперимент по неполному факторному плану дал возможность отсеять некоторое число факторов, но неясности оставались. Результаты второго эксперимента по изменённому плану вместе с результатами первого дали возможность отделить воздействия факторов от воздействий двухфакторных взаимодействий и увеличить точность результатов оценки.

Рис.12.4.1. График кумулятивных вероятностей результатов оценки воздействий на основе данных эксперимента по плану 2^8-4.

Выявление фактора х₄ активным было существенным для объяснения зависимости быстродействия преобразователя от объёма рабочей камеры. В общем, на основе результатов начального и дополнительного экспериментов получена возможность объяснить влияние включённых в эксперимент факторов на время срабатывания пневматического преобразователя, и эти знания представляли большую ценность для улучшения его быстродействия, как для исходной схемы, так и для новых.