Планы экспериментов из шестнадцати опытов и более

12.5. Планы экспериментов из шестнадцати опытов и более

Дробные планы экспериментов из 16 опытов основаны на представленных в таблице 12.5.1 вектор-столбцах уровней исходных факторов полного плана 2⁴ и всех их взаимодействий. Эта таблица получается записью столбцов х₁, х₂, х₃ и х₄ уровней четырёх факторов х₁, х₂, х₃ и х₄ в стандартном порядке. Далее записываются шесть столбцов х₁₂=х₁◦х₂, х₁₃=х₁◦х₃, х₁₄=х₁◦х₄, х₂₃=х₂◦х₃, х₂₄=х₂◦х₄ и х₃₄=х₃◦х₄ уровней двухфакторных взаимодействий х₁₂, х₁₃, х₁₄, х₂₃, х₂₄, х₃₄, четырёх столбцов х₁₂₃=х₁◦х₂◦х₃, х₁₂₄=х₁◦х₂◦х₄, х₁₃₄=х₁◦х₃◦х₄ и х₂₃₄=х₂◦х₃◦х₄ трёхфакторных взаимодействий х₁₂₃, х₁₂₄, х₁₃₄, х₂₃₄ и столбца х₁₂₃₄=х₁◦х₂◦х₃◦х₄ четырёхфакторного взаимодействия х₁₂₃₄.

Таблица 12.5.1. Исходная матрица уровней полного плана 2⁴

Полученная на основе плана 2⁴ таблица 12.5.1 уровней факторов является матрицей размеров 16х15. Использование её столбца уровней четырёхфакторного взаимодействия для уровней нового фактора х₅ позволяет получить дробный план 2_V^5–1. Для создания другого дробного плана используются столбцы уровней трёхфакторных взаимодействий для уровней новых факторов х₅, х₆, х₇ и х₈, что позволяет получить план 2_IV^8–4. А использование столбцов уровней всех взаимодействий четырёх исходных факторов для уровней новых одиннадцати факторов даёт новый дробный план 2_III^15–11.

На основе соответствующих столбцов матрицы из таблицы 12.5.1 в таблице 12.5.2 представлены полученные узловые планы 2⁴, 2^5–1, 2^8–4 и 2^15–11 для экспериментов из 16 опытов соответственно c 4, 5, 8 и 15 факторами. Присваивание факторам х₁, х₂, ..., х₁₅ соответствующих столбцов х₁, х₂, …, х₁₂₃₄ уровней сделано так, чтобы могли быть ясно видны взаимоотношения между узловыми планами.

Таблица 12.5.2. Узловые планы экспериментов из шестнадцати опытов

В таблице 12.5.2 для узловых дробных планов 2_V^5–1, 2_IV^8–4 и 2_III^15–11 показаны максимальные числа факторов, которые могут быть включены в эксперимент при данной их разрешающей способности. Так, можно включить 5 факторов в эксперимент по плану 2_V^5–1 разрешающей способности V, 8 факторов в эксперимент по плану 2_IV^8–4 разрешающей способности IV и 15 факторов в эксперимент по плану 2_III^15–11 разрешающей способности III. Каждый из этих планов имеет проективность Р равную их разрешающей способности R минус единица, то есть, P=R–1. Планы с промежуточными числами факторов могут быть получены посредством устранения (или добавления) факторов узловых планов.

В предыдущем разделе показано как методом изменения всех знаков уровней на обратные на основе дробного плана 2^7–4 разрешающей способности III можно создать дополнительный план, который вместе с начальным планом образует дробный план 2^8–4 разрешающей способности IV. А если полагать, что воздействия от взаимодействий трёх и большего числа факторов пренебрежимо малы, то результаты эксперимента по такому плану позволяют оценить воздействия всех включённых в эксперимент факторов отдельно от воздействий двухфакторных взаимодействий.

Доказано, что любой план 2_IV^q–k должен содержать, по крайней мере, 2q опытов, а содержащий точно 2q опытов план разрешающей способности IV называется минимальным планом [Webb (1968)]. Приводится доказательство гипотезы, что полученные вышеуказанным методом дробные планы разрешающей способности IV являются единственно возможными минимальными планами [Margolin (1969)].

Найденная описанным в разделе 12.2 методом матрица совмещения воздействий для узлового плана 2_IV^8–4 из таблицы 12.5.2 показана в таблице 12.5.3. Как и в таблице 12.4.7, здесь воздействия всех факторов имеют нулевые коэффициенты совмещения с воздействиями двухфакторных взаимодействий. Однако воздействия двухфакторных взаимодействий получаются совмещёнными между собой и показанные в таблице 12.5.4 структуры их совмещения отличаются от тех, что получены в таблице 12.4.7.

Найденная матрица совмещения воздействий для узлового плана 2_III^15–11 показана в таблице 12.5.5. Так как подстрочные индексы факторов этого плана двузначные числа, то в ней подстрочные индексы воздействий двухфакторных взаимодействий разделены запятой. Структуры совместных воздействий для этого плана приведены в таблице 12.5.6. Эти структуры и структуры в таблице 12.5.4 найдены при условии, что воздействиями от взаимодействий трёх и большего числа факторов можно пренебречь. Примеры использования узловых планов из таблицы 12.5.2 приводятся в [Box с соавт. (2005) стр.259-268].

Таблица 12.5.3. Матрица коэффициентов совмещения воздействий по плану 2_IV^8–4

Таблица 12.5.4. Структуры совмещённых воздействий для узловых планов 2_V^5–1 и 2_IV^8–4

Таблица 12.5.5. Матрица коэффициентов совмещения воздействий для плана 2_III^15–11

Продолжение таблицы

Продолжение таблицы

Продолжение таблицы

Продолжение таблицы

Продолжение таблицы

Окончание таблицы

Таблица 12.5.6. Структуры совместных воздействий по узловому плану 2_III^15–11

Планы разрешающей способностью V и выше

Когда в эксперименте предполагается использовать пять или более факторов, то очень полезны планы разрешающей способности V или выше, являющиеся половинными фракциями, то есть планы 2^q–1. Например, план 2^5–1 с определяющим отношением 1=х₁◦х₂◦х₃◦х₄◦х₅ (то есть, после записи полного плана 2⁴ со столбцами х₁, х₂, х₃ и х₄ принимаем х₅=х₁◦х₂◦х₃◦х₄) является планом из 16 опытов, по которому воздействия факторов получаются совместными только с воздействиями четырёхфакторных взаимодействий, а воздействия двухфакторных взаимодействий совместными только с воздействиями трехфакторных взаимодействий. Следовательно, если верно допущение, что воздействиями взаимодействий между более чем двумя факторами можно пренебречь, то на основе результатов эксперимента по такому плану можно оценить все воздействия факторов и двухфакторных взаимодействий, как показано в таблице 12.5.4.

Планы разрешающей способностью V и выше являются особо ценными в качестве исходных строительных блоков составных или композиционных планов, данные экспериментов по которым дают возможность оценить все коэффициенты полинома второго порядка. Для восьми факторов и более одна четвертая часть полного плана может дать план с разрешающей способностью V. Некоторые полезные планы разрешающей способности V и выше, а также связанные с ними разделения на блоки, показаны в таблице 12.5.7.

Таблица 12.5.7. Планы разрешающей способности V и выше и разделение на блоки, так что воздействия факторов и двухфакторных взаимодействий не совмещены

Кроме указанных узловых планов на основе матрицы из таблицы 12.5.1 могут быть построены многие другие дробные планы с числом факторов от 5 до 15. При изучения р факторов с использованием любого двухуровневого плана можно оценить воздействия от р!/[2!(р–2)!]=р(р–1)/2 двухфакторных взаимодействий. Все они должны появиться в таблице совместных воздействий. Ни одно из них невозможно исключить, но их можно переставить в наилучшее положение для конкретной ситуации.

Как и опыты по полным двухуровневым факторным планам в разделе 12.1, опыты по дробным планам тоже можно выполнять блоками с удобными столбцами уровней многофакторных взаимодействий, используемыми в качестве уровней факторов блоков. Деление опытов дробного плана на 2^k блоков выполняется посредством k независимых столбцов уровней факторов блоков. Все воздействия (включая совместные) связаны с этими выбранными факторами блоков, и все их взаимодействия совмещаются с блоками.

Полные таблицы дробных планов различной разрешающей способности имеются, например, в работе [Clatworthy c соавт. (1957)]. Короткий и полезный перечень их приведён в книге [Box, Draper (2007) стр.164].

Выбор дробных планов с минимальным отклонением от нормы

Максимальная разрешающая способность является важным критерием для выбора двухуровневых дробных факторных планов. Разрешающая способность дробного плана 2^q–k равна наименьшему числу сомножителей у членов его полного определяющего отношения. Однако может существовать несколько планов с наибольшей разрешающей способностью и один может быть лучше других [Fries, Hunter (1980)]. В таблице 12.5.8 показаны три возможных варианта плана 2_IV^7–2, являющегося четвёртой части полного плана 2⁷. Все эти варианты разрешающей способности IV. Таким образом, при обычном допущении, что все воздействия взаимодействий трёх и большего числа факторов пренебрежимо малы, эта таблица даёт краткий перечень структур совместных воздействий двухфакторных взаимодействий. Несовместные воздействия двухфакторных взаимодействий в таблице не показаны.

Таблица 12.5.8. Три варианта дробного факторного плана 2_IV^7–2

Вариант 3 является планом с минимальным отклонением от нормы, так как в его полном определяющем отношении присутствует только один член, содержащий четыре сомножителя. Для этого варианта плана совместными получаются только три пары воздействий двухфакторных взаимодействий. В общем, минимальное отклонение от нормы обеспечивает то, что воздействия факторов будут совмещены с наименьшим числом воздействий от взаимодействий R–1 факторов и наименьшее число воздействий двухфакторных взаимодействий будут совмещены с воздействиями от взаимодействий R–2 факторов. В таблице 12.5.9 приведён полезный перечень двухуровневых дробных факторных планов с минимальным отклонением от нормы и числом факторов до 9.

Таблице 12.5.9. Дробные факторные планы с минимальным отклонением от нормы