Проекции дробных планов в пространства активных факторов

12.6. Проекции дробных планов в пространства активных факторов

В некоторых исследованиях желательно изучить влияния многих факторов, хоть и полагается, что лишь немногие из них будут активно влиять на отклик. Это называют допущением немногочисленности активных факторов. Как правило, заранее неизвестно какие из факторов являются активными. Для отбора активных факторов с использованием экспериментов по дробным планам воздействия всех факторов оценивают методом наименьших квадратов с использованием всех столбцов плана, а затем оставляют только столбцы уровней активных факторов и проецируют исходный план в их измерения для дальнейшего исследования.

Для устранения неоднозначности при анализе результатов эксперимента может понадобиться выполнение дополнительных опытов. Эти опыты могут выполняться с изменением только активных факторов или, возможно, всех факторов, как считается разумным и/или возможным. Поэтому, прежде чем выполнять эксперимент для отбора активных факторов по разработанному дробному плану, полезно знать какие планы могут из него получиться, когда он проецируется в пространства меньшего числа факторов. Каким станет дробный план 2^q–k, если из него исключить столбцы уровней некоторых факторов? Для ответа пользуются следующим правилом [Box, Draper (2007) стр.148]: записывается определяющее отношение исходного плана, из него вычеркиваются члены, содержащие исключаемые вектор-столбцы уровней факторов, и выбираются генерирующие равенства, формирующие определяющее отношение нового плана. Более подробно это правило формулируется в следующем виде.

Правило: Положим, что из имеющихся k членов определяющего отношения дробного плана 2^q–k исключаются d векторов уровней. Пусть из k членов определяющего отношения m членов содержать исключаемые векторы, а k–m членов их не содержат. Сокращённый таким образом план будет иметь не менее k–d членов его определяющего отношения. Они получаются путем взятия k–m членов определяющего отношения исходного плана без исключаемых векторов и добавления к ним как можно большего числа (не менее m–d) дополнительных независимых членов, получаемых в результате произведений Адамара между содержащими исключаемые векторы m членами генерирующих равенств и которые в результате не содержат исключаемые векторы.

Пример 12.6.1. План 2_III^7–4 имеет определяющее отношение 1=х₁◦х₂◦х₄=х₁◦х₃◦х₅ =х₂◦х₃◦х₆ =х₁◦х₂◦х₃◦х₇. Какой получится план, если исключить вектор х₁? Здесь имеем d=1. Три (m=3) члена определяющего отношения содержат х₁, поэтому один (k–m=4–3=1) не содержит х₁. Таким образом, 1=х₂◦х₃◦х₆ является генерирующим равенством нового плана и для нового определяющего отношения нужны, по крайней мере, ещё m–d=3–1=2 других не содержащих х₁ независимых члена. Существует три возможных произведения членов определяющего отношения с исключением вектора х₁: (х₁◦х₂◦х₄)◦(х₁◦х₃◦х₅) =х₂◦х₃◦х₄◦х₅, (х₁◦х₂◦х₄)◦(х₁◦х₂◦х₃◦х₇)=х₃◦х₄◦х₇ и (х₁◦х₃◦х₅)◦(х₁◦х₂◦х₃◦х₇) =х₂◦х₅◦х₇. Каждый из результатов равен произведению результатов двух других, поэтому нужно взять только два. Например, сокращённый план может иметь определяющее отношение 1=х₂◦х₃◦х₆ =х₃◦х₄◦х₇ =х₂◦х₅◦х₇. Этот план 2_III^6–3 имеет шесть факторов х₂, х₃, х₄, х₅, х₆ и х₇.

□

Пример 12.6.2. План 2_III^7–4 в разделе 12.3 имеет определяющее отношение 1=х₁◦х₂◦х₄ =х₁◦х₃◦х₅=х₂◦х₃◦х₆=х₁◦х₂◦х₃◦х₇. Какой получится сокращённый план, если из исходного плана исключить векторы х₄, х₅ и х₆? Здесь имеем d=3. Три (m=3) члена определяющего отношения содержат х₄, х₅ и х₆ и один (k–m=4–3=1) их не содержит. Поэтому 1=х₁◦х₂◦х₃◦х₇ является определяющим отношением сокращённого плана и для него не нужны (m–d=3–3 =0) другие генерирующие равенства. Этот план 2_IV^4–1 имеет четыре фактора х₁, х₂, х₃ и х₇.

□

Пример 12.6.3. План 2_III^6–3 из таблицы 12.5.7 имеет определяющее отношение 1=х₁◦х₂◦х₄ =х₁◦х₃◦х₅=х₂◦х₃◦х₆=х₂◦х₃◦х₄◦х₅=х₁◦х₃◦х₄◦х₆=х₁◦х₂◦х₅◦х₆=х₄◦х₅◦х₆. Какие получатся сокращённые планы в результате удаления трех факторов? Вычеркивание, например, столбцов х₄, х₅ и х₆ уровней факторов в определяющем отношении меняет все его члены. Это значит, что при проецировании в измерения столбцов х₁, х₂ и х₃ исходного плана получается полный факторный план. (Это очевидно в любом случае, так как план 2_III^6–3 создается на основе плана 2³ из 8 опытов с факторами х₁, х₂ и х₃, присваивая трём факторам х₄, х₅ и х₆ соответственно столбцы х₁₂, х₁₃ и х₂₃ уровней взаимодействий.) При ==20 возможных вариантах удаления трех из шести факторов, в 16 вариантах получаются полные факторные планы и только 4 варианта в измерениях х₁◦х₂◦х₄, х₁◦х₃◦х₅, х₂◦х₃◦х₆ и х₄◦х₅◦х₆ приводят к повторённым планам 2^3–1. Эти четыре произведения все являются членами определяющего отношения, так что результат неудивителен.

Рекомендуемые материалы

□

Пример 12.6.4. Другой взятый из таблицы 12.5.7 план 2_IV^6–2 имеет 16 опытов с определяющим отношением 1=х₁◦х₂◦х₃◦х₅=х₂◦х₃◦х₄◦х₆=х₁◦х₄◦х₅◦х₆. Если проецировать этот план в по-разному выбранные три измерения путем вычеркивания (оставшиеся) три вектора, то обнаруживается, что любые три вектора присутствуют во всех членах определяющего отношения. Поэтому получающимися проекциями должны быть планы 2³. Однако так как исходный план имеет 16 опытов, то каждый план 2³ из 8 опытов получается обязательно повторённым, так как надо учитывать все имеющиеся 16 опытов.

Что получится, если вычеркнуть только два вектора из исходного плана? Это можно сделать ==15 способами. При этом 12 способов дают полные планы 2⁴, а три способа дают повторённый дробный план 2^4–1. Эти три способа следующие:

Удаление х₁ и х₅ даёт дробный план 2^4–1 с определяющим отношением 1=х₂◦х₃◦х₄◦х₆.

Удаление х₂ и х₃ даёт дробный план 2^4–1 с определяющим отношением 1=х₁◦х₄◦х₅◦х₆.

Удаление х₄ и х₆ даёт дробный план 2^4–1 с определяющим отношением 1=х₁◦х₂◦х₃◦х₅.

□

В общем, для получения полного факторного плана с четырьмя факторами в результате всех проекций дробных планов 2^q–k, в их определяющих отношениях должны отсутствовать члены из трёх и четырёх сомножителей [Cheng (1995)]. Это гарантирует, что все воздействия факторов и их двухфакторных взаимодействий при сокращённом плане получаются разделёнными друг от друга во всех проекциях четырех измерений.

Упражнение. Если план 2_IV^8–3 из таблицы 12.5.7 с определяющим отношением 1=х₁◦х₂◦х₃◦х₆=х₁◦х₂◦х₄◦х₇=х₂◦х₃◦х₄◦х₅◦х₈ проецируется во все ==70 возможных вариантов четырех измерений, то какие три варианта проекций дадут четыре повторных плана 2^4–1? Что дадут остальные 67 вариантов?

Ответ: Найденное перемножением всеми способами трех членов исходного определяющего отношения полное определяющее отношение будет 1=х₁◦х₂◦х₃◦х₆ =х₁◦х₂◦х₄◦х₇ =х₂◦х₃◦х₄◦х₅◦х₈=х₃◦х₄◦х₆◦х₇=х₁◦х₄◦х₅◦х₆◦х₈=х₁◦х₃◦х₅◦х₇◦х₈=х₂◦х₅◦х₆◦х₇◦х₈. Поэтому в трёх вариантах каждый из сохранившихся членов х₁◦х₂◦х₃◦х₆, х₁◦х₂◦х₄◦х₇ и х₃◦х₄◦х₆◦х₇ даст планы 2^4–1, которые должны повториться четыре раза, так как исходный план имеет 32 опыта, а планы 2_IV^4–1 проекций имеют каждый только восемь. Другие –3=67 вариантов обязательно дадут планы 2⁴ (16 опытов), которые должны повторяться два раза, опять же, принимая во внимание имеющиеся исходные 32 опыта.

Упражнение. Если показанный в таблице 12.5.7 план 2_V^8–2 проецируется в d измерений, то для каких значений d результат всегда будет полным факторным планом?

Ответ: Полным определяющим отношением является 1= х₁◦х₂◦х₃◦х₄◦х₇= х₁◦х₂◦х₅◦х₆◦х₈ =х₃◦х₄◦х₅◦х₆◦х₇◦х₈ и в нём есть члены с наименьшим числом сомножителей равным 5. Поэтому некоторые проекции в пять и выше измерений будут дробными факторными планами. Следовательно, ответом является d ≤ 4.

Полные планы в пределах дробных факторных планов

Положим, в ситуации отбора желательно изучить большое число q факторов и ожидается, что лишь меньшее их число q–d являются активными. Но неизвестно какие это факторы. Какими бы они не были, необходимо иметь информацию о воздействиях на отклик этих факторов и двухфакторных взаимодействий. В идеале, нужен дробный факторный план со всеми q факторами, так что, если исключить некоторое число d факторов, то останется полный факторный план с остальными q–d факторами. При каких числовых значениях q и d это возможно? Для ответа существует следующее основное правило [Box, Draper (2007) стр.150].

Правило: Из дробного плана 2^q–k разрешающей способности R получается полный факторный план для любого подмножества R–1 факторов, если остальные q–R+1 факторов исключаются. Полученный план может быть один или повторённый, в зависимости от числовых значений q и R.

Это правило подтверждается следующим образом. Разрешающей способности R план имеет в его определяющем отношении члены с числом R или более сомножителей. Если после исключения q–R+1 факторов остаются только R–1 факторов, то все члены в определяющем отношении должны быть вычеркнуты. Поэтому полный факторный план обязательно получается при любых оставшихся факторах. Будет ли полный факторный эксперимент повторённым или нет, зависит от числовых значений q и R.

Пример 12.6.5. Если из содержащего четыре опыта плана 2_III^3–1 с определяющим отношением 1=х₁◦х₂◦х₃ исключается любой один фактор, то план сокращается до полного факторного плана 2² с двумя оставшимися факторами.

□

Пример 12.6.6. Если из содержащего восемь опытов плана 2_III^7–4 исключаются любые пять факторов, то план сводится к повторённому полному плану 2² с двумя оставшимися факторами. Это получается потому, что план 2_III^7–4 имеет восемь опытов, а сокращённый план 2² имеет всего четыре опыта, поэтому он получается повторённым.

□

С учётом этих примеров можно повторно сформулировать данное выше правило в более общем виде.

Правило: Если план 2^q–k разрешающей способности R содержит 2^R–1хr опытов, то при исключении q–R+1 факторов он сокращается до повторённого r раз полного факторного плана с любым набором из R–1 факторов.

Пример 12.6.7. План 2_IV^8–4 с определяющим отношением 1=х₁◦х₂◦х₃◦х₅=х₁◦х₂◦х₄◦х₆ =х₁◦х₃◦х₄◦х₇=х₂◦х₃◦х₄◦х₈ имеет 16 опытов. Его разрешающая способность R=4 и 2^R–1х2=16. Поэтому, если любые пять факторов исключаются, то, при оставшихся трёх, сокращённый план получается повторённым планом 2³. Есть ==56 вариантов выбора трех факторов из восьми. Этот план даёт скорее впечатляющий охват, если, фактически, только три фактора из восьми являются активными. При этом можно оценить не только воздействия трех факторов, трех двухфакторных взаимодействий и трёхфакторного взаимодействия, но и по результатам псевдо-повторённых опытов может быть оценена предварительно дисперсия s². Если существует предварительная оценка дисперсии s², то имеется возможность проверки активности остальных пяти факторов.

□

Пример 12.6.8. Если в плане 2_III^6–2 из 16 опытов исключаются любые четыре фактора, то с оставшимися двумя факторами получается 4 раза повторённый план 2².

□

Пример 12.6.9. Если в плане 2_IV^9–4 из 32 опытов исключаются любые шесть факторов, то с оставшимися тремя факторами получается 4 раза повторённый план 2³.

□

Исключение из дробного плана на один фактор меньше

Когда из дробного плана 2_R^q–k исключаются только q–R факторов, а не q–R+1, то нельзя быть уверенным, что для оставшихся факторов получится полный факторный план. Эта проблема разрешается по следующему правилу [Box, Draper (2007) стр.151].

Правило: Если из плана разрешающей способности R исключаются q–R факторов, то получающийся сокращённый план для остальных R факторов будет полным или дробным факторным планом с возможными повторениями в зависимости от числовых значений q и R. Если для R оставшихся факторов векторы их уровней образуют член исходного набора генерирующих равенств, то в результате исключения q–R факторов будут получаться дробные планы половинных фракций. В противном случае будут получаться полные планы.

В лекции "Истоки и сущность оттепели" также много полезной информации.

Пример 12.6.10. Рассмотрим план 2_III^7–4 с определяющим отношением 1=х₁◦х₂◦х₄ =х₁◦х₃◦х₅=х₂◦х₃◦х₆=х₁◦х₂◦х₃◦х₇. Его полным определяющим отношением является 1=х₁◦х₂◦х₄=х₁◦х₃◦х₅=х₂◦х₃◦х₆=х₁◦х₂◦х₃◦х₇=х₂◦х₃◦х₄◦х₅=х₁◦х₃◦х₄◦х₆=х₃◦х₄◦х₇=х₁◦х₂◦х₅◦х₆ =х₂◦х₅◦х₇=х₁◦х₆◦х₇=х₄◦х₅◦х₆=х₁◦х₄◦х₅◦х₇=х₂◦х₄◦х₆◦х₇=х₃◦х₅◦х₆◦х₇=х₁◦х₂◦х₃◦х₄◦х₅◦х₆◦х₇. В нём есть семь членов из трёх сомножителей, а именно, х₁◦х₂◦х₄, х₁◦х₃◦х₅, х₂◦х₃◦х₆, х₃◦х₄◦х₇, х₂◦х₅◦х₇, х₁◦х₆◦х₇ и х₄◦х₅◦х₆. Существует ==35 вариантов выбора q–R=7–3=4 факторов для исключения. Если для оставшихся 3 факторов векторы их уровней образуют один из семи членов определяющего отношения, то сокращенным планом будет повторённая половинная фракция. В остальных 28 вариантах для трех остающихся факторов получаются полные планы 2³. Это превосходное достоинство плана из восьми опытов!

□

Пример 12.6.11. Рассмотрим план 2_IV^8–4 с определяющим отношением 1=х₁◦х₂◦х₃◦х₅ =х₁◦х₂◦х₄◦х₆=х₁◦х₃◦х₄◦х₇=х₂◦х₃◦х₄◦х₈. Его полным определяющим отношением является 1=х₁◦х₂◦х₃◦х₅=х₁◦х₂◦х₄◦х₆=х₁◦х₃◦х₄◦х₇=х₂◦х₃◦х₄◦х₈=х₃◦х₄◦х₅◦х₆=х₂◦х₄◦х₅◦х₇=х₁◦х₄◦х₅◦х₈ =х₂◦х₃◦х₆◦х₇=х₁◦х₃◦х₆◦х₈=х₁◦х₂◦х₇◦х₈=х₁◦х₅◦х₆◦х₇=х₂◦х₅◦х₆◦х₈=х₃◦х₅◦х₇◦х₈=х₄◦х₆◦х₇◦х₈ =х₁◦х₂◦х₃◦х₄◦х₅◦х₆◦х₇◦х₈. Есть =70 вариантов выбора четырёх факторов из восьми. Положим, четыре фактора удаляются из плана. Тогда при оставшихся четырех факторах сокращённый план будет:

(а) полным факторным планом, если произведение векторов уровней оставшихся факторов не образует член полного определяющего отношения (56 вариантов).

(б) дробным планом в виде повторённой половинной фракции с разрешающей способностью IV, если произведение векторов уровней оставшихся факторов образует член полного определяющего отношения (14 вариантов).

В целом, это отличное достоинство плана из 16 опытов.