Нерегулярные двухуровневые планы
12.7. Нерегулярные двухуровневые планы
В предыдущем обсуждении показано, как требующие выполнения 2q–k=2p опытов регулярные неполные двухуровневые планы могут быть созданы посредством сначала составления полного плана 2р, а затем включения дополнительных факторов на основе использования столбцов уровней от взаимодействий факторов полного плана. Как было видно, насыщенные двухуровневые дробные планы с разрешающей способностью III для изучения до q=n–1 факторов в n=2р опытах создаются на основе любого полного плана 2p посредством присваивания новым факторам всех столбцов уровней взаимодействий между факторами плана 2p. Следовательно, для планов этого типа число опытов n получаются просто возведением в степень числа 2, то есть, n=4, 8, 16, 32, 64, …. Для промежуточных значений n, являющихся кратными 4, то есть, n=12, 20, 24, 28, 36, …, могут применяться насыщенные планы [Plackett, Burmann (1946)]. Такие двухуровневые планы для п≤100, где п кратно четырем, называются нерегулярными.
Нерегулярные двухуровневые планы не имеют генерирующих равенств и создаются без них. Получаемые на их основе структуры совместных воздействий факторов, а также их свойства проективности отличаются от тех, что получены для регулярных дробных планов. Рассмотрим один такой плана для сравнения с регулярными дробными планами. В таблице 12.7.1 показан нерегулярный двухуровневый план.
Нерегулярный двухуровневый факторный план называют планом Адамара, так как, если слева к нему добавить вектор 1, то в результате получается матрица Адамара. В интернете по адресу http://www.math.ntua.gr/~ckoukouv/ профессор Christos Koukouvinos приводит большую коллекцию матриц Адамара различных видов. В книге [Hedayat c соавт. (1999) стр.149] перечисляются методы создания матриц Адамара и один из них приведён в приложении П.14.
Другой метод основан на использовании строки чисел +1 и –1. Например, для нерегулярного двухуровневого плана из п=12 опытов базисной строкой этих чисел является +1 +1 –1 +1 +1 +1 –1 –1 –1 +1 –1. Это первая строка плана в таблице 12.7.1. Вторая строка получается из первой перемещением всех чисел на одну позицию вправо и последнего числа в начало этой строки. Таким же образом из второй строки получается третья и так далее до п–1 строки. В конце плана добавляется состоящая вся из –1 п-я строка. В результате план содержит п строк (опытов) для п–1 факторов с их уровнями в соответствующих столбцах плана. Все столбцы и строки плана ортогональны друг другу. Для использования в эксперименте меньшего числа т факторов используют любые т из п–1 столбцов. В таблице 12.7.1 этот план показан в насыщенном виде, то есть, со всеми п–1 факторами.
Таблица 12.7.1. Нерегулярный насыщенный двухуровневый факторный план для п=12
Опыты | Факторы | ||||||||||
х1 | Рекомендуемые материалыFREE Планы второго порядка, реализация В3-плана -52% Вариант 3 - ДЗ №1 - ТФКП и ДЗ №3 - Ряды Фурье ДЗ №1,2 ("Ряды Фурье" и "ТФКП") -28% Вариант 5 - ДЗ №1 - ТФКП - 9 задач -42% Расчет на прочность. Общий случай напряженного состояния -52% Вариант 10 - ДЗ №3 - Ряды Фурье х2 | х3 | х4 | х5 | х6 | х7 | х8 | х9 | х10 | х11 | |
1 | +1 | +1 | –1 | +1 | +1 | +1 | –1 | –1 | –1 | +1 | –1 |
2 | –1 | +1 | +1 | –1 | +1 | +1 | +1 | –1 | –1 | –1 | +1 |
3 | +1 | –1 | +1 | +1 | –1 | +1 | +1 | +1 | –1 | –1 | –1 |
4 | –1 | +1 | –1 | +1 | +1 | –1 | +1 | +1 | +1 | –1 | –1 |
5 | –1 | –1 | +1 | –1 | +1 | +1 | –1 | +1 | +1 | +1 | –1 |
6 | –1 | –1 | –1 | +1 | –1 | +1 | +1 | –1 | +1 | +1 | +1 |
7 | +1 | –1 | –1 | –1 | +1 | –1 | +1 | +1 | –1 | +1 | +1 |
8 | +1 | +1 | –1 | –1 | –1 | +1 | –1 | +1 | +1 | –1 | +1 |
9 | +1 | +1 | +1 | –1 | –1 | –1 | +1 | –1 | +1 | +1 | –1 |
10 | –1 | +1 | +1 | +1 | –1 | –1 | –1 | +1 | –1 | +1 | +1 |
11 | +1 | –1 | +1 | +1 | +1 | –1 | –1 | –1 | +1 | –1 | +1 |
12 | –1 | –1 | –1 | –1 | –1 | –1 | –1 | –1 | –1 | –1 | –1 |
Результаты экспериментов по таким планам используют для оценки воздействий факторов и их взаимодействий на переменные отклика тем же способом, что и результаты экспериментов по регулярным двухуровневым планам. Результаты оценки получаются умножением вектора уровней соответствующих фактора или факторных взаимодействий на вектор значений переменных отклика и деления на п/2, например, на 6 для n=12. Если при расчёте используется метод наименьших квадратов, то, как и ранее, результаты оценки параметров равны половинам результатов оценки воздействий факторов или их взаимодействий, так как по методу наименьших квадратов делитель удваивается до п.
Структуры совместных воздействий для нерегулярных планов находятся с использованием матрицы совмещения, как и для регулярных планов. Для плана в таблице 12.7.1 найдём матрицу совмещения между воздействиями факторов и двухфакторных взаимодействий. Элементами этой матрицы являются коэффициенты воздействий двухфакторных взаимодействий в структурах совместных воздействий. Пусть Х1 - матрица модели эксперимента по плану таблицы 12.7.1, а Х2 – матрица столбцов уровней двухфакторных взаимодействий факторов этого плана, полученных с использованием произведения Адамара. Считая здесь также, что воздействия от взаимодействий трёх факторов и более пренебрежимо малы, функцию модели эксперимента с учётом двухфакторных взаимодействий можно записать в виде Е(у)=Х1β1+Х2β2, где β1 - вектор параметров модели без двухфакторных взаимодействий и β2 - вектор параметров двухфакторных взаимодействий. Как и для регулярных планов, матрица совмещения находится по формуле А=(X1TX1)–1X1TХ2. Результат вычисления элементов этой матрицы, с точностью до трёх знаков после запятой, показан в таблице 12.7.2.
Таблица 12.7.2. Матрица совмещения воздействий для нерегулярного плана
β1,2 | β1,3 | β1,4 | β1,5 | β1,6 | β1,7 | β1,8 | β1,9 | β1,10 | β1,11 | |
β1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
β2 | 0 | –0,333 | –0,333 | –0,333 | +0,333 | –0,333 | –0,333 | +0,333 | +0,333 | –0,333 |
β3 | –0,333 | 0 | +0,333 | –0,333 | –0,333 | +0,333 | –0,333 | +0,333 | –0,333 | –0,333 |
β4 | –0,333 | +0,333 | 0 | +0,333 | +0,333 | –0,333 | –0,333 | –0,333 | –0,333 | –0,333 |
β5 | –0,333 | –0,333 | +0,333 | 0 | –0,333 | –0,333 | –0,333 | –0,333 | +0,333 | +0,333 |
β6 | +0,333 | –0,333 | +0,333 | –0,333 | 0 | –0,333 | +0,333 | –0,333 | –0,333 | –0,333 |
β7 | –0,333 | +0,333 | –0,333 | –0,333 | –0,333 | 0 | +0,333 | –0,333 | +0,333 | –0,333 |
β8 | –0,333 | –0,333 | –0,333 | –0,333 | +0,333 | +0,333 | 0 | –0,333 | –0,333 | +0,333 |
β9 | +0,333 | +0,333 | –0,333 | –0,333 | –0,333 | –0,333 | –0,333 | 0 | –0,333 | +0,333 |
β10 | +0,333 | –0,333 | –0,333 | +0,333 | –0,333 | +0,333 | –0,333 | –0,333 | 0 | –0,333 |
β11 | –0,333 | –0,333 | –0,333 | +0,333 | –0,333 | –0,333 | +0,333 | +0,333 | –0,333 | 0 |
Продолжение таблицы
β2,3 | β2,4 | β2,5 | β2,6 | β2,7 | β2,8 | β2,9 | β2,10 | β2,11 | β3,4 | |
β1 | –0,333 | –0,333 | –0,333 | +0,333 | –0,333 | –0,333 | +0,333 | +0,333 | –0,333 | +0,333 |
β2 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | –0,333 |
β3 | 0 | –0,333 | –0,333 | –0,333 | +0,333 | –0,333 | –0,333 | +0,333 | +0,333 | 0 |
β4 | –0,333 | 0 | +0,333 | –0,333 | –0,333 | +0,333 | –0,333 | +0,333 | –0,333 | 0 |
β5 | –0,333 | +0,333 | 0 | +0,333 | +0,333 | –0,333 | –0,333 | –0,333 | –0,333 | –0,333 |
β6 | –0,333 | –0,333 | +0,333 | 0 | –0,333 | –0,333 | –0,333 | –0,333 | +0,333 | –0,333 |
β7 | +0,333 | –0,333 | +0,333 | –0,333 | 0 | –0,333 | +0,333 | –0,333 | –0,333 | –0,333 |
β8 | –0,333 | +0,333 | –0,333 | –0,333 | –0,333 | 0 | +0,333 | –0,333 | +0,333 | +0,333 |
β9 | –0,333 | –0,333 | –0,333 | –0,333 | +0,333 | +0,333 | 0 | –0,333 | –0,333 | –0,333 |
β10 | +0,333 | +0,333 | –0,333 | –0,333 | –0,333 | –0,333 | –0,333 | 0 | –0,333 | –0,333 |
β11 | +0,333 | –0,333 | –0,333 | +0,333 | –0,333 | +0,333 | –0,333 | –0,333 | 0 | +0,333 |
Продолжение таблицы
β3,5 | β3,6 | β3,7 | β3,8 | β3,9 | β3,10 | β3,11 | β4,5 | β4,6 | β4,7 | |
β1 | –0,333 | –0,333 | +0,333 | –0,333 | +0,333 | –0,333 | –0,333 | +0,333 | +0,333 | –0,333 |
β2 | –0,333 | –0,333 | +0,333 | –0,333 | –0,333 | +0,333 | +0,333 | +0,333 | –0,333 | –0,333 |
β3 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | –0,333 | –0,333 | –0,333 |
β4 | –0,333 | –0,333 | –0,333 | +0,333 | –0,333 | –0,333 | +0,333 | 0 | 0 | 0 |
β5 | 0 | +0,333 | –0,333 | –0,333 | +0,333 | –0,333 | +0,333 | 0 | –0,333 | –0,333 |
β6 | +0,333 | 0 | +0,333 | +0,333 | –0,333 | –0,333 | –0,333 | –0,333 | 0 | +0,333 |
β7 | –0,333 | +0,333 | 0 | –0,333 | –0,333 | –0,333 | –0,333 | –0,333 | +0,333 | 0 |
β8 | –0,333 | +0,333 | –0,333 | 0 | –0,333 | +0,333 | –0,333 | –0,333 | –0,333 | +0,333 |
β9 | +0,333 | –0,333 | –0,333 | –0,333 | 0 | +0,333 | –0,333 | +0,333 | –0,333 | +0,333 |
β10 | –0,333 | –0,333 | –0,333 | +0,333 | +0,333 | 0 | –0,333 | –0,333 | +0,333 | –0,333 |
β11 | +0,333 | –0,333 | –0,333 | –0,333 | –0,333 | –0,333 | 0 | –0,333 | –0,333 | –0,333 |
Продолжение таблицы
β4,8 | β4,9 | β4,10 | β4,11 | β5,6 | β5,7 | β5,8 | β5,9 | β5,10 | β5,11 | |
β1 | –0,333 | –0,333 | –0,333 | –0,333 | –0,333 | –0,333 | –0,333 | –0,333 | +0,333 | +0,333 |
β2 | +0,333 | –0,333 | +0,333 | –0,333 | +0,333 | +0,333 | –0,333 | –0,333 | –0,333 | –0,333 |
β3 | +0,333 | –0,333 | –0,333 | +0,333 | +0,333 | –0,333 | –0,333 | +0,333 | –0,333 | +0,333 |
β4 | 0 | 0 | 0 | 0 | –0,333 | –0,333 | –0,333 | +0,333 | –0,333 | –0,333 |
β5 | –0,333 | +0,333 | –0,333 | –0,333 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
β6 | –0,333 | –0,333 | +0,333 | –0,333 | 0 | –0,333 | –0,333 | –0,333 | +0,333 | –0,333 |
β7 | +0,333 | +0,333 | –0,333 | –0,333 | –0,333 | 0 | +0,333 | –0,333 | –0,333 | +0,333 |
β8 | 0 | –0,333 | –0,333 | –0,333 | –0,333 | +0,333 | 0 | +0,333 | +0,333 | –0,333 |
β9 | –0,333 | 0 | –0,333 | +0,333 | –0,333 | –0,333 | +0,333 | 0 | –0,333 | –0,333 |
β10 | –0,333 | –0,333 | 0 | +0,333 | +0,333 | –0,333 | +0,333 | –0,333 | 0 | –0,333 |
β11 | –0,333 | +0,333 | +0,333 | 0 | –0,333 | +0,333 | –0,333 | –0,333 | –0,333 | 0 |
Продолжение таблицы
β6,7 | β6,8 | β6,9 | β6,10 | β6,11 | β7,8 | β7,9 | β7,10 | β7,11 | β8,9 | |
β1 | –0,333 | +0,333 | –0,333 | –0,333 | –0,333 | +0,333 | –0,333 | +0,333 | –0,333 | –0,333 |
β2 | –0,333 | –0,333 | –0,333 | –0,333 | +0,333 | –0,333 | +0,333 | –0,333 | –0,333 | +0,333 |
β3 | +0,333 | +0,333 | –0,333 | –0,333 | –0,333 | –0,333 | –0,333 | –0,333 | –0,333 | –0,333 |
β4 | +0,333 | –0,333 | –0,333 | +0,333 | –0,333 | +0,333 | +0,333 | –0,333 | –0,333 | –0,333 |
β5 | –0,333 | –0,333 | –0,333 | +0,333 | –0,333 | +0,333 | –0,333 | –0,333 | +0,333 | +0,333 |
β6 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | –0,333 | –0,333 | –0,333 | +0,333 | +0,333 |
β7 | 0 | –0,333 | –0,333 | –0,333 | +0,333 | 0 | 0 | 0 | 0 | –0,333 |
β8 | –0,333 | 0 | +0,333 | –0,333 | –0,333 | 0 | –0,333 | –0,333 | –0,333 | 0 |
β9 | –0,333 | +0,333 | 0 | +0,333 | +0,333 | –0,333 | 0 | +0,333 | –0,333 | 0 |
β10 | –0,333 | –0,333 | +0,333 | 0 | –0,333 | –0,333 | +0,333 | 0 | +0,333 | –0,333 |
β11 | +0,333 | –0,333 | +0,333 | –0,333 | 0 | –0,333 | –0,333 | +0,333 | 0 | –0,333 |
Окончание таблицы
β8,10 | β8,11 | β9,10 | β9,11 | β10,11 | |
β1 | –0,333 | +0,333 | –0,333 | +0,333 | –0,333 |
β2 | –0,333 | +0,333 | –0,333 | –0,333 | –0,333 |
β3 | +0,333 | –0,333 | +0,333 | –0,333 | –0,333 |
β4 | –0,333 | –0,333 | –0,333 | +0,333 | +0,333 |
β5 | +0,333 | –0,333 | –0,333 | –0,333 | –0,333 |
β6 | –0,333 | –0,333 | +0,333 | +0,333 | –0,333 |
β7 | –0,333 | –0,333 | +0,333 | –0,333 | +0,333 |
β8 | 0 | 0 | –0,333 | –0,333 | +0,333 |
β9 | –0,333 | –0,333 | 0 | 0 | –0,333 |
β10 | 0 | +0,333 | 0 | –0,333 | 0 |
β11 | +0,333 | 0 | –0,333 | 0 | 0 |
Из таблицы видно, что по нерегулярному плану воздействие каждого фактора совмещено с 45 воздействиями двухфакторных взаимодействий с коэффициентами совмещения +0,333 и –0,333. В отличие от регулярного плана, где коэффициенты равны +1 или –1, здесь они являются дробными числами.
Нерегулярные двухуровневые планы используются для постановки экспериментов с целью отбора активных факторов. На основе результатов эксперимента по такому плану оцениваются совместные воздействия факторов и двухфакторных взаимодействий. Однако, ввиду сложности структур совместных воздействий, метод построения графиков кумулятивных вероятностей для результатов оценки с целью выявления активных факторов здесь неприменим. Анализ экспериментов по нерегулярным планам делается, например, на основе аксиомы Байеса [Box с соавт. (2005) стр.281-303]. Поэтому интересующиеся исследователи могут использовать этот подход. Но при этом полезно иметь в виду, что основателем планирования экспериментов Фишером эта аксиома отвергается, и приводятся доводы почему [Fisher (1935) стр. 6].
Для эффективной оценки воздействий факторов и двухфакторных взаимодействий рекомендуется использовать небольшие двухуровневые планы и приводится их список [Box, Draper (2007) стр.159]. Этот список наряду с нерегулярными планами включает специальные планы. Однако при использовании таких планов экспериментатору придётся больше времени тратить на сложный анализ результатов таких экспериментов, чем на их проведение. Поэтому, как уже отмечалось ранее, лучше всего начинать с постановки экспериментов по небольшим регулярным дробным планам.
Упражнения
12.1. Для плана 2Rq–k следующие утверждения являются истинными или ложными?
(а) q ≥ R
(б) q ≥ R+k
Объясните в нескольких словах ваши ответы.
12.2. Выполняется эксперимент по плану 2III5–2 с определяющим отношением 1=х1◦х2◦х3◦х4 =х1◦х3◦х5.
(а) Если известно, что факторы x1, x2 и x3 все действуют независимо друг от друга и факторы x3, x4 и x5 все действуют независимо друг от друга, то, пренебрегая воздействиями взаимодействий трех или более факторов, что можно оценить?
(б) Можно ли предложить лучше план для этих факторов, чем 2III5–2, или он наилучший среди имеющихся?
12.3. Для создания одной четвертой фракции плана 25, то есть, дробного плана 25–2, предложены два определяющих отношения:
(а) 1=х1◦х2◦х3◦х4◦х5=х2◦х3◦х4◦х5
(б) 1=х1◦х2◦х3=х2◦х3◦х4◦х5
Какой план предпочтителен и почему?
12.4. (а) Используя метод изменения знаков на противоположные, покажите как план 2III7–4 с определяющим отношением 1=х1◦х2◦х5=х1◦х2◦х3◦х4=х1◦х4◦х6=х2◦х4◦х7 может служить основой создания плана 2IV8–4.
(б) Какое определяющее отношение у нового плана?
(в) Если в полученном плане снова изменить все знаки на противоположные, кроме столбца 1, то какой план получается в результате?
12.5. Рассмотрим план 2IV8–4 с определяющим отношением 1=х1◦х2◦х3◦х5 =х1◦х2◦х4◦х6 =х1◦х3◦х4◦х7 =х2◦х3◦х4◦х8.
(а) С помощью столбца, который обычно дает результат оценки суммы четырех воздействий двухфакторных взаимодействий, разделите план на два блока.
(б) Сохраняя двухфакторные взаимодействия всех видов, покажите, что результаты оценки доступны.
(в) Если фактор блока не взаимодействует, покажите, какие результаты оценки доступны.
12.6. (а) Создайте план для изучения шести факторов в четырех блоках, содержащих по четыре опыта.
(б) Каковы генерирующие равенства для плана (включая разделение на блоки)?
(в) Найдите определяющее отношение (включая разделение на блоки).
(г) Покажите, что результаты оценки могут быть найдены, полагая, что воздействия от взаимодействий между тремя и более факторами равны нулю и факторы блоков не взаимодействуют с обычными факторами.
Подсказка: Возьмите план 2IV6–2, полученный с использованием 1=х1◦х2◦х3◦х5 =х1◦х2◦х4◦х6. Примите b1=х1◦х2, b2=х1◦х3, так что b12=b1◦b2=х2◦х3. План затем генерируется равенствами 1=х1◦х2◦х3◦х5 =х1◦х2◦х4◦х6 =х1◦х2◦b1=х1◦х3◦b2, включая разделение на блоки. При оценке, помните, что хотя b12◦х5, например, выглядит как взаимодействие трех факторов, его следует рассматривать как двухфакторное взаимодействие между фактором b12 блоков и обычным фактором х5.
(д) Является ли предлагаемый в подсказке вариант хорошим? Объясните причины ответа. Если решено, что есть лучшие варианты, то приведите один.
12.7. (а) Создайте план для изучения шести факторов в восьми блоках, каждый из которых содержит два опыта, так что результаты оценки воздействий факторов не зависят от воздействий блоков.
(б) Каковы генерирующие равенства для плана (включая разделение на блоки)?
(в) Найдите определяющее отношение.
(г) Покажите, что результаты оценки могут быть найдены, полагая, что воздействия от взаимодействий между тремя и более факторами равны нулю и факторы блоков не взаимодействуют с обычными факторами.
Подсказка: Возьмите план 2IV6–2 с определяющим отношением 1=х1◦х2◦х3◦х5 =х1◦х2◦х4◦х6. Примите b1=х1◦х2, b2=х1◦х3 (так что b1◦b2=х2◦х3), и b3=х1◦х4. Тогда b1◦b3 =х2◦х4, b2◦b3=х3◦х4, а b1◦b2◦b3=х1◦х2◦х3◦х4. Блоки теперь определены. Следует помнить, что, например, b1b2b3◦х5 имеет статус двухфакторного взаимодействия.
Рекомендуем посмотреть лекцию "6. Опасные для сельского хозяйства метеорологические явления и меры защиты от них".
12.8. Экспериментатор начинает исследование с планом 25–2, используя генерирующие равенства х4=х1◦х2◦х3 и х5=х2◦х3. Позже он выполняет восемь опытов, полученных изменением всех знаков в таблице плана для пяти факторов.
(а) Какова разрешающая способность комбинированного плана из 16 опытов? Какие генерирующие равенства даст этот план?
(б) Какой план лучше бы использовал экспериментатор, зная заранее, что будут поставлены 16 опытов?
12.9. Постройте такой двухуровневый дробный факторный план из 16 опытов для шести факторов, чтобы оценить все воздействия факторов и все, включающие фактор х1 двухфакторные взаимодействия.
12.10. Если после плана с определяющим отношением 1=х1◦х2◦х4=х1◦х3◦х5=х2◦х3◦х6 используется план, в котором факторы х1 и х2 имеют уровни с изменёнными на противоположные знаками, то каковы структуры совместных воздействий для полученного таким образом плана из 16 опытов?
12.11. Экспериментатору нужен двухуровневый дробный факторный план из 16 опытов, с использованием которого будут оцениваться воздействия шести факторов х1, х2, ..., х6, а также воздействия взаимодействий х12, х123, х13, х14, х15, х16, х23, х24 между ними. Полагая, что, за исключением х123, все воздействия взаимодействий трёх и большего числа факторов могут быть проигнорированы, существует ли такой план? Если да, то, какое его определяющее отношение?