Популярные услуги

Нерегулярные двухуровневые планы

2021-03-09СтудИзба

12.7. Нерегулярные двухуровневые планы

В предыдущем обсуждении показано, как требующие выполнения 2q–k=2p опытов регулярные неполные двухуровневые планы могут быть созданы посредством сначала составления полного плана 2р, а затем включения дополнительных факторов на основе использования столбцов уровней от взаимодействий факторов полного плана. Как было видно, насыщенные двухуровневые дробные планы с разрешающей способностью III для изучения до q=n–1 факторов в n=2р опытах создаются на основе любого полного плана 2p посредством присваивания новым факторам всех столбцов уровней взаимодействий между факторами плана 2p. Следовательно, для планов этого типа число опытов n получаются просто возведением в степень числа 2, то есть, n=4, 8, 16, 32, 64, …. Для промежуточных значений n, являющихся кратными 4, то есть, n=12, 20, 24, 28, 36, …, могут применяться насыщенные планы [Plackett, Burmann (1946)]. Такие двухуровневые планы для п≤100, где п кратно четырем, называются нерегулярными.

Нерегулярные двухуровневые планы не имеют генерирующих равенств и создаются без них. Получаемые на их основе структуры совместных воздействий факторов, а также их свойства проективности отличаются от тех, что получены для регулярных дробных планов. Рассмотрим один такой плана для сравнения с регулярными дробными планами. В таблице 12.7.1 показан нерегулярный двухуровневый план.

Нерегулярный двухуровневый факторный план называют планом Адамара, так как, если слева к нему добавить вектор 1, то в результате получается матрица Адамара. В интернете по адресу http://www.math.ntua.gr/~ckoukouv/ профессор Christos Koukouvinos приводит большую коллекцию матриц Адамара различных видов. В книге [Hedayat c соавт. (1999) стр.149] перечисляются методы создания матриц Адамара и один из них приведён в приложении П.14.

Другой метод основан на использовании строки чисел +1 и –1. Например, для нерегулярного двухуровневого плана из п=12 опытов базисной строкой этих чисел является +1 +1 –1 +1 +1 +1 –1 –1 –1 +1 –1. Это первая строка плана в таблице 12.7.1. Вторая строка получается из первой перемещением всех чисел на одну позицию вправо и последнего числа в начало этой строки. Таким же образом из второй строки получается третья и так далее до п–1 строки. В конце плана добавляется состоящая вся из –1 п-я строка. В результате план содержит п строк (опытов) для п–1 факторов с их уровнями в соответствующих столбцах плана. Все столбцы и строки плана ортогональны друг другу. Для использования в эксперименте меньшего числа т факторов используют любые т из п–1 столбцов. В таблице 12.7.1 этот план показан в насыщенном виде, то есть, со всеми  п–1 факторами.

Таблица 12.7.1. Нерегулярный насыщенный двухуровневый факторный план для п=12

Опыты

Факторы

х1

Рекомендуемые материалы

х2

х3

х4

х5

х6

х7

х8

х9

х10

х11

1

+1

+1

–1

+1

+1

+1

–1

–1

–1

+1

–1

2

–1

+1

+1

–1

+1

+1

+1

–1

–1

–1

+1

3

+1

–1

+1

+1

–1

+1

+1

+1

–1

–1

–1

4

–1

+1

–1

+1

+1

–1

+1

+1

+1

–1

–1

5

–1

–1

+1

–1

+1

+1

–1

+1

+1

+1

–1

6

–1

–1

–1

+1

–1

+1

+1

–1

+1

+1

+1

7

+1

–1

–1

–1

+1

–1

+1

+1

–1

+1

+1

8

+1

+1

–1

–1

–1

+1

–1

+1

+1

–1

+1

9

+1

+1

+1

–1

–1

–1

+1

–1

+1

+1

–1

10

–1

+1

+1

+1

–1

–1

–1

+1

–1

+1

+1

11

+1

–1

+1

+1

+1

–1

–1

–1

+1

–1

+1

12

–1

–1

–1

–1

–1

–1

–1

–1

–1

–1

–1

Результаты экспериментов по таким планам используют для оценки воздействий факторов и их взаимодействий на переменные отклика тем же способом, что и результаты экспериментов по регулярным двухуровневым планам. Результаты оценки получаются умножением вектора уровней соответствующих фактора или факторных взаимодействий на вектор значений переменных отклика и деления на п/2, например, на 6 для n=12. Если при расчёте используется метод наименьших квадратов, то, как и ранее, результаты оценки параметров равны половинам результатов оценки воздействий факторов или их взаимодействий, так как по методу наименьших квадратов делитель удваивается до п.

Структуры совместных воздействий для нерегулярных планов находятся с использованием матрицы совмещения, как и для регулярных планов. Для плана в таблице 12.7.1 найдём матрицу совмещения между воздействиями факторов и двухфакторных взаимодействий. Элементами этой матрицы являются коэффициенты воздействий двухфакторных взаимодействий в структурах совместных воздействий. Пусть Х1 - матрица модели эксперимента по плану таблицы 12.7.1, а Х2 – матрица столбцов уровней двухфакторных взаимодействий факторов этого плана, полученных с использованием произведения Адамара. Считая здесь также, что воздействия от взаимодействий трёх факторов и более пренебрежимо малы, функцию модели эксперимента с учётом двухфакторных взаимодействий можно записать в виде Е(у)=Х1β1+Х2β2, где β1 - вектор параметров модели без двухфакторных взаимодействий и β2 - вектор параметров двухфакторных взаимодействий. Как и для регулярных планов, матрица совмещения находится по формуле А=(X1TX1)–1X1TХ2. Результат вычисления элементов этой матрицы, с точностью до трёх знаков после запятой, показан в таблице 12.7.2.

Таблица 12.7.2. Матрица совмещения воздействий для нерегулярного плана

β1,2

β1,3

β1,4

β1,5

β1,6

β1,7

β1,8

β1,9

β1,10

β1,11

β1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

β2

0

–0,333

–0,333

–0,333

+0,333

–0,333

–0,333

+0,333

+0,333

–0,333

β3

–0,333

0

+0,333

–0,333

–0,333

+0,333

–0,333

+0,333

–0,333

–0,333

β4

–0,333

+0,333

0

+0,333

+0,333

–0,333

–0,333

–0,333

–0,333

–0,333

β5

–0,333

–0,333

+0,333

0

–0,333

–0,333

–0,333

–0,333

+0,333

+0,333

β6

+0,333

–0,333

+0,333

–0,333

0

–0,333

+0,333

–0,333

–0,333

–0,333

β7

–0,333

+0,333

–0,333

–0,333

–0,333

0

+0,333

–0,333

+0,333

–0,333

β8

–0,333

–0,333

–0,333

–0,333

+0,333

+0,333

0

–0,333

–0,333

+0,333

β9

+0,333

+0,333

–0,333

–0,333

–0,333

–0,333

–0,333

0

–0,333

+0,333

β10

+0,333

–0,333

–0,333

+0,333

–0,333

+0,333

–0,333

–0,333

0

–0,333

β11

–0,333

–0,333

–0,333

+0,333

–0,333

–0,333

+0,333

+0,333

–0,333

0

Продолжение таблицы

β2,3

β2,4

β2,5

β2,6

β2,7

β2,8

β2,9

β2,10

β2,11

β3,4

β1

–0,333

–0,333

–0,333

+0,333

–0,333

–0,333

+0,333

+0,333

–0,333

+0,333

β2

0

0

0

0

0

0

0

0

0

–0,333

β3

0

–0,333

–0,333

–0,333

+0,333

–0,333

–0,333

+0,333

+0,333

0

β4

–0,333

0

+0,333

–0,333

–0,333

+0,333

–0,333

+0,333

–0,333

0

β5

–0,333

+0,333

0

+0,333

+0,333

–0,333

–0,333

–0,333

–0,333

–0,333

β6

–0,333

–0,333

+0,333

0

–0,333

–0,333

–0,333

–0,333

+0,333

–0,333

β7

+0,333

–0,333

+0,333

–0,333

0

–0,333

+0,333

–0,333

–0,333

–0,333

β8

–0,333

+0,333

–0,333

–0,333

–0,333

0

+0,333

–0,333

+0,333

+0,333

β9

–0,333

–0,333

–0,333

–0,333

+0,333

+0,333

0

–0,333

–0,333

–0,333

β10

+0,333

+0,333

–0,333

–0,333

–0,333

–0,333

–0,333

0

–0,333

–0,333

β11

+0,333

–0,333

–0,333

+0,333

–0,333

+0,333

–0,333

–0,333

0

+0,333

Продолжение таблицы

β3,5

β3,6

β3,7

β3,8

β3,9

β3,10

β3,11

β4,5

β4,6

β4,7

β1

–0,333

–0,333

+0,333

–0,333

+0,333

–0,333

–0,333

+0,333

+0,333

–0,333

β2

–0,333

–0,333

+0,333

–0,333

–0,333

+0,333

+0,333

+0,333

–0,333

–0,333

β3

0

0

0

0

0

0

0

–0,333

–0,333

–0,333

β4

–0,333

–0,333

–0,333

+0,333

–0,333

–0,333

+0,333

0

0

0

β5

0

+0,333

–0,333

–0,333

+0,333

–0,333

+0,333

0

–0,333

–0,333

β6

+0,333

0

+0,333

+0,333

–0,333

–0,333

–0,333

–0,333

0

+0,333

β7

–0,333

+0,333

0

–0,333

–0,333

–0,333

–0,333

–0,333

+0,333

0

β8

–0,333

+0,333

–0,333

0

–0,333

+0,333

–0,333

–0,333

–0,333

+0,333

β9

+0,333

–0,333

–0,333

–0,333

0

+0,333

–0,333

+0,333

–0,333

+0,333

β10

–0,333

–0,333

–0,333

+0,333

+0,333

0

–0,333

–0,333

+0,333

–0,333

β11

+0,333

–0,333

–0,333

–0,333

–0,333

–0,333

0

–0,333

–0,333

–0,333

Продолжение таблицы

β4,8

β4,9

β4,10

β4,11

β5,6

β5,7

β5,8

β5,9

β5,10

β5,11

β1

–0,333

–0,333

–0,333

–0,333

–0,333

–0,333

–0,333

–0,333

+0,333

+0,333

β2

+0,333

–0,333

+0,333

–0,333

+0,333

+0,333

–0,333

–0,333

–0,333

–0,333

β3

+0,333

–0,333

–0,333

+0,333

+0,333

–0,333

–0,333

+0,333

–0,333

+0,333

β4

0

0

0

0

–0,333

–0,333

–0,333

+0,333

–0,333

–0,333

β5

–0,333

+0,333

–0,333

–0,333

0

0

0

0

0

0

β6

–0,333

–0,333

+0,333

–0,333

0

–0,333

–0,333

–0,333

+0,333

–0,333

β7

+0,333

+0,333

–0,333

–0,333

–0,333

0

+0,333

–0,333

–0,333

+0,333

β8

0

–0,333

–0,333

–0,333

–0,333

+0,333

0

+0,333

+0,333

–0,333

β9

–0,333

0

–0,333

+0,333

–0,333

–0,333

+0,333

0

–0,333

–0,333

β10

–0,333

–0,333

0

+0,333

+0,333

–0,333

+0,333

–0,333

0

–0,333

β11

–0,333

+0,333

+0,333

0

–0,333

+0,333

–0,333

–0,333

–0,333

0

Продолжение таблицы

β6,7

β6,8

β6,9

β6,10

β6,11

β7,8

β7,9

β7,10

β7,11

β8,9

β1

–0,333

+0,333

–0,333

–0,333

–0,333

+0,333

–0,333

+0,333

–0,333

–0,333

β2

–0,333

–0,333

–0,333

–0,333

+0,333

–0,333

+0,333

–0,333

–0,333

+0,333

β3

+0,333

+0,333

–0,333

–0,333

–0,333

–0,333

–0,333

–0,333

–0,333

–0,333

β4

+0,333

–0,333

–0,333

+0,333

–0,333

+0,333

+0,333

–0,333

–0,333

–0,333

β5

–0,333

–0,333

–0,333

+0,333

–0,333

+0,333

–0,333

–0,333

+0,333

+0,333

β6

0

0

0

0

0

–0,333

–0,333

–0,333

+0,333

+0,333

β7

0

–0,333

–0,333

–0,333

+0,333

0

0

0

0

–0,333

β8

–0,333

0

+0,333

–0,333

–0,333

0

–0,333

–0,333

–0,333

0

β9

–0,333

+0,333

0

+0,333

+0,333

–0,333

0

+0,333

–0,333

0

β10

–0,333

–0,333

+0,333

0

–0,333

–0,333

+0,333

0

+0,333

–0,333

β11

+0,333

–0,333

+0,333

–0,333

0

–0,333

–0,333

+0,333

0

–0,333

Окончание таблицы

β8,10

β8,11

β9,10

β9,11

β10,11

β1

–0,333

+0,333

–0,333

+0,333

–0,333

β2

–0,333

+0,333

–0,333

–0,333

–0,333

β3

+0,333

–0,333

+0,333

–0,333

–0,333

β4

–0,333

–0,333

–0,333

+0,333

+0,333

β5

+0,333

–0,333

–0,333

–0,333

–0,333

β6

–0,333

–0,333

+0,333

+0,333

–0,333

β7

–0,333

–0,333

+0,333

–0,333

+0,333

β8

0

0

–0,333

–0,333

+0,333

β9

–0,333

–0,333

0

0

–0,333

β10

0

+0,333

0

–0,333

0

β11

+0,333

0

–0,333

0

0

Из таблицы видно, что по нерегулярному плану воздействие каждого фактора совмещено с 45 воздействиями двухфакторных взаимодействий с коэффициентами совмещения +0,333 и –0,333. В отличие от регулярного плана, где коэффициенты равны +1 или –1, здесь они являются дробными числами.

Нерегулярные двухуровневые планы используются для постановки экспериментов с целью отбора активных факторов. На основе результатов эксперимента по такому плану оцениваются совместные воздействия факторов и двухфакторных взаимодействий. Однако, ввиду сложности структур совместных воздействий, метод построения графиков кумулятивных вероятностей для результатов оценки с целью выявления активных факторов здесь неприменим. Анализ экспериментов по нерегулярным планам делается, например, на основе аксиомы Байеса [Box с соавт. (2005) стр.281-303]. Поэтому интересующиеся исследователи могут использовать этот подход. Но при этом полезно иметь в виду, что основателем планирования экспериментов Фишером эта аксиома отвергается, и приводятся доводы почему [Fisher (1935) стр. 6].

Для эффективной оценки воздействий факторов и двухфакторных взаимодействий рекомендуется использовать небольшие двухуровневые планы и приводится их список [Box, Draper (2007) стр.159]. Этот список наряду с нерегулярными планами включает специальные планы. Однако при использовании таких планов экспериментатору придётся больше времени тратить на сложный анализ результатов таких экспериментов, чем на их проведение. Поэтому, как уже отмечалось ранее, лучше всего начинать с постановки экспериментов по небольшим регулярным дробным планам.

Упражнения

12.1. Для плана 2Rq–k следующие утверждения являются истинными или ложными?

(а) qR

(б) qR+k

Объясните в нескольких словах ваши ответы.

12.2. Выполняется эксперимент по плану 2III52 с определяющим отношением 1=х1х2х3х4 1х3х5.

(а) Если известно, что факторы x1, x2 и x3 все действуют независимо друг от друга и факторы x3, x4 и x5 все действуют независимо друг от друга, то, пренебрегая воздействиями взаимодействий трех или более факторов, что можно оценить?

(б) Можно ли предложить лучше план для этих факторов, чем 2III52, или он наилучший среди имеющихся?

12.3. Для создания одной четвертой фракции плана 25, то есть, дробного плана 252, предложены два определяющих отношения:

(а) 1=х1х2х3х4х5=х2х3х4х5

(б) 1=х1х2х3=х2х3х4х5

Какой план предпочтителен и почему?

12.4. (а) Используя метод изменения знаков на противоположные, покажите как план 2III74 с определяющим отношением 1=х1х2х51х2х3х41х4х62х4х7 может служить основой создания плана 2IV84.

(б) Какое определяющее отношение у нового плана?

(в) Если в полученном плане снова изменить все знаки на противоположные, кроме столбца 1, то какой план получается в результате?

12.5. Рассмотрим план 2IV84 с определяющим отношением 1=х1х2х3х5 1х2х4х6 1х3х4х7 2х3х4х8.

(а) С помощью столбца, который обычно дает результат оценки суммы четырех воздействий двухфакторных взаимодействий, разделите план на два блока.

(б) Сохраняя двухфакторные взаимодействия всех видов, покажите, что результаты оценки доступны.

(в) Если фактор блока не взаимодействует, покажите, какие результаты оценки доступны.

12.6. (а) Создайте план для изучения шести факторов в четырех блоках, содержащих по четыре опыта.

(б) Каковы генерирующие равенства для плана (включая разделение на блоки)?

(в) Найдите определяющее отношение (включая разделение на блоки).

(г) Покажите, что результаты оценки могут быть найдены, полагая, что воздействия от взаимодействий между тремя и более факторами равны нулю и факторы блоков не взаимодействуют с обычными факторами.

Подсказка: Возьмите план 2IV62, полученный с использованием 1=х1х2х3х5 1х2х4х6. Примите b1=х1х2, b2=х1х3, так что b12=b1b2=х2х3. План затем генерируется равенствами 1=х1х2х3х5 1х2х4х6 1х2b11х3b2, включая разделение на блоки. При оценке, помните, что хотя b12х5, например, выглядит как взаимодействие трех факторов, его следует рассматривать как двухфакторное взаимодействие между фактором b12 блоков и обычным фактором х5.

(д) Является ли предлагаемый в подсказке вариант хорошим? Объясните причины ответа. Если решено, что есть лучшие варианты, то приведите один.

12.7. (а) Создайте план для изучения шести факторов в восьми блоках, каждый из которых содержит два опыта, так что результаты оценки воздействий факторов не зависят от воздействий блоков.

(б) Каковы генерирующие равенства для плана (включая разделение на блоки)?

(в) Найдите определяющее отношение.

(г) Покажите, что результаты оценки могут быть найдены, полагая, что воздействия от взаимодействий между тремя и более факторами равны нулю и факторы блоков не взаимодействуют с обычными факторами.

Подсказка: Возьмите план 2IV62 с определяющим отношением 1=х1х2х3х5 1х2х4х6. Примите b1=х1х2, b2=х1х3 (так что b1b2=х2х3), и b3=х1х4. Тогда b1b3 =х2х4, b2b3=х3х4, а b1b2b3=х1х2х3х4. Блоки теперь определены. Следует помнить, что, например, b1b2b3х5 имеет статус двухфакторного взаимодействия.

Рекомендуем посмотреть лекцию "6. Опасные для сельского хозяйства метеорологические явления и меры защиты от них".

12.8. Экспериментатор начинает исследование с планом 252, используя генерирующие равенства х41х2х3 и х52х3. Позже он выполняет восемь опытов, полученных изменением всех знаков в таблице плана для пяти факторов.

(а) Какова разрешающая способность комбинированного плана из 16 опытов? Какие генерирующие равенства даст этот план?

(б) Какой план лучше бы использовал экспериментатор, зная заранее, что будут поставлены 16 опытов?

12.9. Постройте такой двухуровневый дробный факторный план из 16 опытов для шести факторов, чтобы оценить все воздействия факторов и все, включающие фактор х1 двухфакторные взаимодействия.

12.10. Если после плана с определяющим отношением 1=х1х2х41х3х52х3х6 используется план, в котором факторы х1 и х2 имеют уровни с изменёнными на противоположные знаками, то каковы структуры совместных воздействий для полученного таким образом плана из 16 опытов?

12.11. Экспериментатору нужен двухуровневый дробный факторный план из 16 опытов, с использованием которого будут оцениваться воздействия шести факторов х1, х2, ..., х6, а также воздействия взаимодействий х12, х123, х13, х14, х15, х16, х23, х24 между ними. Полагая, что, за исключением х123, все воздействия взаимодействий трёх и большего числа факторов могут быть проигнорированы, существует ли такой план? Если да, то, какое его определяющее отношение?

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5075
Авторов
на СтудИзбе
455
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее