Фундаментальная система решений линейного однородного уравнения
Фундаментальная система решений линейного однородного уравнения
Определение. Любые 
линейно независимых решений линейного однородного дифференциального уравнения -ного порядка называется фундаментальной системой решений этого уравнения.
Из предыдущих теорем сразу следует еще одна важная теорема.
Теорема 7. Решения 
уравнения (2) образуют фундаментальную систему решений этого уравнения тогда и только тогда, когда их определитель Вронского 
отличен от 0 хотя бы в одной точке 
.
Доказательство. Равносильная переформулировка утверждения теоремы – решения линейно зависимы тогда и только тогда, когда 
на 
. Но это утверждение сразу следует из теорем 5 и 6.
Лекция "Параллельные порты ввода и вывода" также может быть Вам полезна.
Теорема 8. Для любого линейного однородного дифференциального уравнения (2) существует фундаментальная система его решений.
Доказательство. Построим такую фундаментальную систему решений. Для этого возьмем произвольную точку и поставим различных задач Коши: 
.
По теореме 1 о существовании и единственности у каждой из этих задач имеется решение, и мы обозначим 
- решение 1-й задачи, 
- решение 2-й задачи, …, 
- решение -ной задачи. Мы получили - решения уравнения (2). Найдем 
для этих функций: 
. Следовательно, по теореме 7, функции образуют искомую фундаментальную систему решений уравнения (2).
Теорема 9. Пусть - фундаментальная система решений уравнения (2). Тогда для любого решения 
этого уравнения существуют постоянные 
такие, что 
.
Доказательство. Возьмем произвольную точку 
и рассмотрим систему уравнений относительно неизвестных : 
(11). Определитель этой системы 
не равен 0, т.к. 
- фундаментальная система решений. Поэтому у нее существует (и притом единственное) решение . Рассмотрим теперь функцию 
. По теореме 2 она является решением уравнения (2). Ввиду равенств (11) значения этой функции и ее производных до порядка 
включительно в точке 
совпадают со значениями и ее последовательных производных в точке . По теореме 1 о единственности решения задачи Коши , 
.
Замечание. Теоремы 8 и 9 означают, что размерность векторного пространства решений уравнения (2) равна , а любая фундаментальная система решений представляет собой базис этого пространства
