Формулы Крамера
Формулы Крамера. Решение неоднородной системы уравнений с неизвестными, имеющей невырожденную основную матрицу системы, находится по формулам
,
где - определитель системы; - определитель матрицы, получаемой из основной матрицы системы заменой её -го столбца столбцом свободных членов.
Примеры
1. Решить систему уравнений
Решение. Будем решать методом Гаусса. Выпишем расширенную матрицу системы и преобразуем её, вычитая первую строку, умноженную на 2, 3 и 1 соответственно из 2-ой, 3-ей и 4-ой строк:
Далее вторую строку, умноженную на 2 и 3, вычтем соответственно из третей и четвёртой строк:
Рекомендуемые материалы
Последняя матрица эквивалентна следующей ступенчатой системе:
30
Полученная упрощённая система представляет собой систему из двух уравнений для четырёх неизвестных. Следовательно, два из неизвестных можно выбрать за главные, а два - за свободные, через которые будут выражены главные. В качестве главных неизвестных можно выбрать любую пару, если определитель, составленный из коэффициентов, стоящих перед ними, отличен от нуля (базисный
минор). В данной задаче в качестве главных неизвестных можно выбрать .
Бесплатная лекция: "Контр-культура" также доступна.
Действительно, определитель, составленный из их коэффициентов, отличен от нуля:
.
Теперь из второго уравнения выразим через . Затем подставим его в первое уравнение и найдём через . В итоге получим
Переменные принимают произвольные значения. Положив , общее решение системы можно записать в виде
.