Множества в E в степени n

2.1. Множества в .

Мы начнем наше изучение с построения некоторой классификации множеств точек (напомним, что мы отождествляем понятия точки и вектора!) в пространстве .

Прежде всего рассмотрим понятие окрестности.

Определение 2.1. Для произвольного (но фиксированного) положительного  -окрестностью точки  называется множество

.

Легко построить примеры окрестностей.

При -окрестность точки  на числовой прямой есть, очевидно интервал ; при -окрестность точки  на плоскости есть не что иное, как множество всех внутренних точек круга (т.е. точек, не лежащих на самой окружности) радиуса  с центром в точке ; при -окрестность точки  в трехмерном пространстве есть не что иное, как множество всех внутренних точек шара (т.е. точек, не лежащих на самой сфере) радиуса  с центром в точке (см. рис. 2.2).

Рис. 2.2

Рекомендуемые материалы

Мы будем часто говорить просто «окрестность точки », понимая под этим -окрестность этой точки для какого-то .

Заметим, что иногда используют понятие проколотой -окрестности точки  как множества

То есть проколотая окрестность не содержит самой точки - например, это внутренность круга с выброшенным центром. Отсюда и название - «проколотая окрестность».

Открытые множества, внутренние точки, внутренность.

            Определение 2.2. Точка множества  называется внутренней, если она содержится в  вместе с некоторой своей окрестностью, т.е. если существует   такое, что .

            Множество, все точки которого внутренние, называется открытым.

            Подмножество всех внутренних точек множества  называется внутренностью этого множества и обозначается  (или, иногда ).

 Замечание. По определению принимается, что пустое множество открыто.

Таким образом, множество открыто тогда и только тогда, когда оно совпадает со своей внутренностью: .

            Рассмотрим некоторые примеры  и простейшие свойства открытых множеств.

            Утверждение 2.1. Для любого и любой точки -окрестность  есть открытое множество.

            Доказательство. Возьмем точку  и обозначим через  расстояние . Очевидно . Полагая , докажем, что . Для произвольной точки  имеем ( в силу неравенства треугольника):

,

что и требовалось (см. рис. 2.3).

Рис. 2.3

            В силу доказанного -окрестность точки  можно теперь называть открытым шаром радиуса  с центром в точке . Конечно, мы могли бы формально ввести такой термин и раньше, но разумнее это сделать сейчас, когда мы доказали, что действительно любая окрестность есть открытое множество.

            Разумеется открыты не только окрестности. Например, на плоскости множество всех точек с положительной ординатой и лежащих строго ниже параболы , будет открыто (почему?). Все пространство открыто; в трехмерном пространстве любое «полупространство», определяемое плоскостью с уравнением , т.е. множество всех точек, определенных строгим неравенством   (или ) будет открыто. Проколотая окрестность открыта. Но, например, полуинтервал  на числовой прямой не открыт, так как точка  не имеет ни одной окрестности, целиком содержащейся в этом полуинтервале.

            Рассмотрим теперь простейшие свойства открытых множеств.

            Утверждение 2.2. Пересечение любого конечного семейства и объединение любого семейства открытых множеств есть открытое множество.

            (Под семейством множеств мы имеем здесь в виду любое множество, элементами которого являются некоторые множества).

            Доказательство. 1) Пусть  и  - открытые множества. Докажем, что их пересечение тоже открыто.

            Действительно, если эти множества не пересекаются, то пустое множество открыто по определению. В противном случае существует точка , принадлежащая обоим множествам. В каждом из них эта точка содержится вместе с некоторой своей окрестностью. Пусть  и пусть, скажем, . Тогда , и эта - окрестность точки целиком содержится и в множестве , и в множестве . Таким образом, выбирая наименьшую из двух окрестностей точки, с которыми она содержится в пересекаемых множествах, получаем окрестность, с которой данная точка содержится в пересечении указанных множеств.

            Итак, пересечение любых двух открытых множеств открыто. Следовательно, и пересечение любого конечного семейства открытых множеств открыто.

2)  Объединение произвольного семейства множеств есть, по определению, множество всех точек таких, что каждая из них принадлежит некоторому множеству этого семейства. Так как каждое множество в семействе открытых множеств содержит любую точку вместе с некоторой ее окрестностью, то и объединение семейства открытых множеств любую свою точку содержит вместе с некоторой ее окрестностью и, следовательно, является открытым.

            Очень важно заметить, что пересечение бесконечного семейства открытых множеств не всегда открыто!

            Действительно, например, пересечение - окрестностей (по всем )  произвольной точки  есть одноэлементное множество , которое не открыто (почему?).

            Утверждение 2.3. Для любых множеств  из  следует .

            Доказательство. Упражнение.

            Таким образом, мы можем рассматривать открытые множества сколь угодно сложной структуры, даже и «несвязные» (понятие связности будет строго определено ниже). Например, произвольное объединение попарно непересекающихся открытых шаров будет открыто; пересечение любого конечного семейства открытых шаров тоже будет открыто. Интуитивно ясно, что если мы нарисуем на плоскости какую-нибудь «гладкую» замкнутую кривую (строго понятие гладкости мы обсудим в следующих параграфах) и рассмотрим множество всех точек фигуры, ограниченной этой кривой, но не будем брать точки, лежащие на самой кривой, то получим открытое множество. Равным образом, и «внешность» фигуры, ограниченной этой кривой, т.е. множество всех точек плоскости, которые не лежат ни внутри кривой, ни на самой кривой, тоже будет открыто (см. рис. 2.4).

Рис. 2.4

            Но сколь бы сложно по своей «конфигурации» ни было открытое множество, оно обязательно в качестве подмножества содержит некоторую окрестность, т.е. некоторый открытый шар. В этом смысле открытые шары служат «базисными», «фундаментальными» открытыми множествами пространства .

Замкнутые множества, точки прикосновения, граница

            Рассмотрим на плоскости  какой-нибудь круг (рис. 2.5), причем берем и внутренние точки круга, и точки ограничивающей его окружности. Совершенно очевидно, что точка, находящаяся на окружности, не будет внутренней, так как не существует окрестности этой точки, которая бы целиком содержалась в круге, но также очевидно и то, что любая окрестность такой точки пересекается с множеством точек круга, более того, в любой окрестности точки, лежащей на окружности, содержится по крайней мере одна внутренняя точка круга.

Рис. 2.5

            Эти простые соображения мотивируют следующее определение:

            Определение 2.3. Точка  называется точкой прикосновения (или предельной точкой) множества , если любая ее окрестность пересекается с , т.е. .

            Множество называется замкнутым, если оно содержит все свои точки прикосновения.

            Подчеркнем, что точка прикосновения множества может и не принадлежать самому этому множеству. Например, если в качестве множества  мы возьмем множество всех внутренних точек круга (рис. 2.5), то ни одна точка окружности, будучи точкой прикосновения , не принадлежит .

            С другой стороны, понятно, что всякая внутренняя точка множества является точкой прикосновения этого множества.

            Определение 2.4. Точка прикосновения множества , которая не есть его внутренняя точка, называется граничной точкой множества .

            Множество всех граничных точек множества  называется его границей и обозначается .

            Объединение множества с его границей называется замыканием данного множества.

            Замыкание  договоримся обозначать  (иногда используют обозначение , или ).

            Из определений сразу следует, что множество замкнуто тогда и только тогда, когда оно совпадает со своим замыканием.

            Нетрудно видеть, что множество  и, следовательно, замкнуто. Оно называется  замкнутым шаром радиуса  с центром в точке .

            На прямой замкнутый шар - это отрезок ; на плоскости - это круг вместе с ограничивающей его окружностью; в пространстве - шар вместе с ограничивающей его сферой.

            Из определений сразу следует

            Утверждение 2.4. 1) Для любого   (замыкание замыкания совпадает с самим замыканием).

2)  Для любых множеств  из  следует .

            Взаимосвязь открытых и замкнутых множеств устанавливает простой, но фундаментальный результат:

            Теорема 2.1. Множество открыто тогда и только тогда, когда его дополнение замкнуто.

            Доказательство.  Пусть множество  открыто. Нам нужно доказать, что его дополнение, множество , замкнуто. Для этого достаточно доказать, что множество  содержит все свои граничные точки. Пусть . Если предположить, что , то это означает, что . Так как множество  открыто, то любая его точка является внутренней. Следовательно найдется такое , что , т.е. , что невозможно, так как любая окрестность точки , как граничной точки множества , пересекается с . Значит, .

            Обратно, пусть множество  таково, что его дополнение замкнуто. Докажем, что  открыто. Предположим, что нашлась точка , не являющаяся внутренней. Это значит, что для любого  пересечение  не пусто. Но тогда точка  - точка прикосновения множества , не принадлежащая ему, что невозможно ввиду замкнутости этого множества. Следовательно, любая точка множества внутренняя, и это множество открыто.

            Из теоремы 2.1 следует, в частности, что любое одноточечное множество в  замкнуто.

            Действительно, для любой точки  найдутся окрестности , пересечение которых пусто: всегда можно выбрать  (см. рис. 2.6). Заметим, что здесь существенно используются свойства расстояния, а именно, что при  расстояние  положительно. Отсюда, любая точка  имеет окрестность, не содержащую фиксированную точку , т.е. множество  открыто, и само одноточечное множество  замкнуто.

Рис. 2.6.

            Таким образом, замкнутость одноточечных множеств в следует из того фундаментального факта, что любые две несовпадающие точки этого пространства имеют непересекающиеся окрестности. Это свойство называют свойством хаусдорфовости пространства  (в честь выдающего немецкого математика Ф. Хаусдорфа).

            Поскольку замкнутые множества - это в точности дополнения открытых, легко по аналогии с утверждением  2.2 доказать

            Утверждение 2.5. Объединение любого конечного и пересечение любого семейства замкнутых множеств замкнуто.

            Тот факт, что объединение бесконечного семейства замкнутых множеств может оказаться и не замкнутым, вытекает из такого примера. Рассмотрим семейство замкнутых шаров   с центром в какой-то точке для всех , строго меньших некоторого фиксированного . Нетрудно догадаться, что объединением этого семейства будет открытый шар .

            Все пространство , с одно стороны, как дополнение пустого множества, замкнуто, но оно же, как мы видели ранее, также и открыто. Значит, пустое множество и все пространство суть множества, которые открыты и замкнуты одновременно. Это тривиальные примеры открыто-замкнутых множеств (т.е. множеств, открытых и замкнутых одновременно). В самом пространстве , однако, нельзя построить нетривиальный пример открыто-замкнутого множества.

            Легко построить примеры множеств, которые ни открыты, ни замкнуты. Простейшим примером в одномерном случае может служить полуинтервал  (или ). Это множество не открыто потому, что один из его концов не является внутренней точкой,  тогда как другой  будет граничной точкой, не принадлежащей самому  множеству. Чуть более замысловатым примером множества, не являющегося ни открытым, ни замкнутым, является следующее: берем на плоскости множество всех внутренних точек какого-нибудь круга и добавляем к нему любое собственное подмножество точек ограничивающей круг окружности. Зеркально: можно взять все точки окружности и добавить множество внутренних точек круга, выбросив из него любое конечное подмножество («замкнутый круг с дырками»). Но если мы возьмем внутри круга произвольное конечное множество точек, а затем добавим к нему границу круга, т.е. окружность, получим замкнутое множество (почему?). Подумайте, какое множество получится, если рассмотреть внутренность круга и выбросить из нее произвольное конечное множество точек («открытый круг с дырками»).

Связные множества, области

            Определение 2.5. Множество  называется открытым относительно множества , если оно может быть представлено как пересечение с  некоторого открытого множества.

            Ясно, что открытое (просто) множество есть множество, открытое относительно всего пространства . Если множество  открыто, то любое открытое относительно  множество будет просто открытым.

            Но, например, если  (полуинтервал на числовой прямой), то любое множество  при  будет открыто относительно  (так как       для любого ), но не будет открыто.

            Понятно, что всякое множество открыто относительно себя самого.

            Определение 2.6. Множество  называется связным, если оно не может быть представлено в виде объединения двух непересекающихся и открытых относительно  множеств.

            Например, любой шар, открытый или замкнутый, есть связное множество. Множество точек плоскости, состоящее из всех внутренних точек некоторого круга и всех точек любой полуокружности из окружности, служащей границей круга, будет связно (почему?). Любой полуинтервал на числовой прямой связен. В то же время множество, полученное объединением любого семейства попарно непересекающихся шаров (безразлично, открытых или замкнутых), не будет связно. Так на числовой прямой множество =  не является связным, так как представимо в виде объединения двух непересекающихся отрезков, каждый из которых, будучи замкнут на всей прямой, тем не менее открыт относительно рассматриваемого множества (в самом деле, ). Предостережем читателя от ошибки: ни в коем случае нельзя думать, что любой отрезок в  будет открыт относительно ! Напротив, любой отрезок, строго содержащийся в , не будет открыт относительно (докажите!).

Ещё посмотрите лекцию "13 Политический кризис Речи Посполитой" по этой теме.

             Определение 2.7. Множество, которое одновременно связно и открыто, называется областью.

            В частности, любой открытый шар и все пространство будет областью. Заметим, что все пространство  может быть представлено как объединение бесконечного семейства шаров  по всем  для произвольной точки . Это позволяет нам рассматривать все пространство как шар бесконечного радиуса, центр которого можно взять в произвольной точке пространства. Замечательно, что великий французский философ и математик Блез Паскаль (1623 - 1669), характеризуя бесконечность Вселенной, писал: «Вселенная - это круг, центр которого везде, а окружность - нигде».

Ограниченные множества

            Определение 2.8. Множество  называется ограниченным, если оно целиком содержится в некотором открытом шаре конечного радиуса.

            Таким образом, множество  ограничено тогда и только тогда, когда найдутся  точка  и положительное  такие, что .

            Любой шар (конечного радиуса), разумеется, ограничен. Но внешность шара (для открытого шара это множество ) не есть ограниченное множество. Все пространство не является ограниченным, пустое множество ограничено. Читатель без труда построит многочисленные примеры как ограниченных, так и не ограниченных множеств.