Дифференциальное исчисление функций нескольких вещественных переменных

Глава 2. Дифференциальное исчисление функций нескольких вещественных переменных

Предмет исследования в данной главе - функции вида

,                                      (1)

т.е. функции, определенные на некотором подмножестве евклидова пространства и принимающие значения в евклидовом пространстве . Как правило, мы полагаем, что , тогда как . Тем самым рассматриваются функции «векторного аргумента», принимающие скалярные (при ) или векторные (при ) значения. Для таких функций мы должны обобщить известные из курса математического анализа первого семестра понятия непрерывности, дифференцируемости (изученные для случая ), а потом на этой основе дать аппарат исследования таких функций на экстремум. В построении теории мы существенным образом используем методы линейной алгебры (глава 1).

Если задана функция вида (1), то тем самым каждому -мерному вектору , принадлежащему области определения функции, сопоставлен однозначно - мерный вектор , обозначаемый тогда как :

                                                                                (2)

Вводя в пространствах  и  какие-то базисы (будем далее молчаливо предполагать, что рассматриваются только ортонормированные базисы; более того, как правило, мы считаем, что «работаем» в канонических базисах арифметических векторных пространств), мы можем переписать равенство (2) в координатной форме:

                                                      (3)

где  - столбцы координат векторов  и  соответственно в выбранных базисах.

Рекомендуемые материалы

Функции  в равенствах (3) называются координатными функциями функции (1). Каждая координатная функция есть числовая (скалярнозначная) функция, зависящая от  вещественных переменных (или, что то же самое, от одной -мерной векторной переменной), определяющая значения той или иной координаты вектора, являющегося значением функции (1).

Векторная функция вида (1) может быть задана непосредственно своими координатными функциями.

Например:

Записанная таким образом функция есть функция, отображающая двумерные векторы в двумерные. Областью ее определения (как и областью значения)  служит все пространство . Вводя ограничения  и переходя к более традиционным обозначениям переменных, получим функцию

определенную в «полуполосе» (см. рис. 2.1) и задающую переход от полярных координат на плоскости к обычным декартовым координатам.

                                   Рис. 2.1

Следующая функция является числовой и потому совпадает со своей единственной координатной функцией:

Понятно, что областью определения этой функции служит множество внутренних точек круга единичного радиуса с центром в начале координат.

Обратим внимание на то, что пространство  со стандартно определенным скалярным произведением векторов (см. гл. 1, п. 1.18) рассматривается как метрическое пространство, т.е. пространство, для любых двух точек (векторов)  которого определено расстояние между ними как

15.Судьба Эжена де Растиньяка в Человеческой комедии Бальзака - лекция, которая пользуется популярностью у тех, кто читал эту лекцию.

,

обладающее следующими свойствами (см. п. 1.5):

1)  , причем  тогда и только тогда, когда ;

2)  ;

3)  (неравенство треугольника).

В заключение этой «преамбулы» заметим, что в первой главе мы занимались преимущественно функциями вида (1), которые были определены на всем пространстве и были линейны, т.е. мы изучали линейные отображения между евклидовыми пространствами (хотя, рассматривая билинейные и квадратичные формы, мы уже выходили за рамки чистой линейности, переходя к так называемой «полилинейности»). Во второй главе мы займемся гораздо более широким классом нелинейных функций вида (1) и построим для них дифференциальное исчисление, обобщающее обычное дифференциальное исчисление функций одной вещественной переменной.