Метод сеток для уравнения параболического типа
Метод сеток для уравнения параболического типа.
В качестве примера уравнения параболического типа остановимся на уравнении теплопроводности для однородного стержня длиной 
:
(50)
где 
- температура и 
- время. Будем предполагать, что 
. То есть от уравнения (50) перейдем к уравнению
(51)
Пусть задано распределение температуры 
в начальный момент времени 
и законы изменения температуры в зависимости от времени на концах стержня 
и 
:
; 
. Требуется найти распределение температуры вдоль стержня длиной в любой момент времени . Функция 
должна быть непрерывна и дважды непрерывно дифференцируема по своим переменным в области 
.
Область 
заменим сеточной (Рис.14), разбивая ее с помощью шага 
по 
и с помощью шага 
по . В результате замены непрерывной области дискретным множеством узловых точек 
, исходная задача деформируется. Теперь будем искать решение только на дискретном множестве . Т.е. 
- двумерная таблица значений искомой функции в узловых точках.
Представим уравнение (51) в конечно-разностной форме, заменяя 
и 
конечно-разностным аналогом в узловых точках 
:
Рекомендуемые материалы
Получим конечно-разностный аналог исходной задачи: требуется найти значение функции 
, удовлетворяющего конечно-разностному уравнению вида:
, 
(52).
и дополнительным условиям:
Получим систему линейных алгебраических уравнений, которую можно решить любым известным методом. Исследования показали, что значения и должны быть связаны между собой следующим образом: 
, где 
. Аппроксимируем уравнение (51) конечно-разностным
(53)
Решая систему (53) с учетом дополнительных условий, получим 
- искомую функцию в точках 
.
Второй вариант конечно-разностного аналога исходного дифференциального уравнения, т.н. явная схема, получается за счет того, что первые производные в узловых точках 
представлены в виде:
,
а вторая производная остается прежней. Получим исходное уравнение в конечно-разностной форме:
.
Считая, что , получим 
или 
, 
. По этой формуле для каждого значения 
для слоя 
по оси используются три значения 
на предыдущем слое с номером 
. Для начала вычислений используем дополнительные условия.
В результате решения задачи в конечно-разностной форме мы получаем значения искомой функции в точках (Рис.15), которые являются приближенным решением исходной задачи. На практике полагают 
, тогда расчетная формула упрощается и принимает следующий вид:
.
Данная расчетная формула дает наилучшее приближение к искомому решению, обеспечивая устойчивость конечно-разностной схемы и наилучшую аппроксимацию исходного уравнения конечно-разностным.
Заметим, что идея метода сеток, которая заключается в замене исходной области сеточной и замене исходной задачи конечно-разностным аналогом, используется при решении других типов уравнений в частных производных.
В случае неявной схемы используется другой вид аппроксимации и новое соотношение между шагами и в виде 
. Исходное дифференциальное уравнение (51) аппроксимируется конечно-разностным уравнением вида
Ещё посмотрите лекцию "Управление процессом паблик рилейшнз" по этой теме.
(54)
Начальные и граничные условия остаются теми же, что в предыдущем случае. Для решения системы линейных алгебраических уравнений (54) применяется метод прогонки.
Суть метода прогонки состоит в том, что сначала вычисляются значения 
, выбирается значение 
с целью получения требуемой скорости продвижения оси . Обозначим , 
, 
, 
. В прямом ходе на очередном временном слое вычисляются вспомогательные функции:
В обратном ходе вычисляются значения искомой функции на слое по формуле 
. Величина 
является значением искомой функции в точке 
, а 
- в точке 
. Погрешность метода 
. Из анализа устойчивости неявной схемы вытекает, что следует назначать 
.
