Системы нелинейных уравнений - метод простых итераций
Системы нелинейных уравнений: метод простых итераций
Задача: Дано: 
(7),
где 
– столбец неизвестных, 
– столбец, состоящий из скалярных функций от n переменных.
Метод простых итераций:
1) Преобразовать уравнение (7) в уравнение вида 
(8) ;
2) Составить рекуррентную формулу: 
(9);
3) Выбрать любое начальное приближение 
. По формуле (9) найти 
, 
, …, 
;
4) Если норма разности 
уменьшается, то метод сходится, и последнее найденное приближение приблизительно равно решению системы (7).
Опр. Метрическое пространство H — множество, на котором задана функция метрики (расстояния) r(a,b), удовлетворяющая условиям:
Рекомендуемые материалы
1) r(a,b) ³ 0, и r(a,b) = 0 Û a = b;
2) r(a,b) = r(b,a);
3) r(a,b) + r(b,c) ³ r(a,c).
В нашем случае H = ún, 
.
Опр. Отображением в метрическом пространстве называется функция
g : H ® H.
Опр. Отображение называется сжимающим, если существует число q:
0 ≤ q < 1, такое, что для любых x1, x2 Î H выполняется
r(g(x1),g(x2)) ≤ q×r(x1, x2).
Теорема.
Если отображение 
является сжимающим, то уравнение имеет единственное решение 
и 
.
Док-во:
1. Поскольку является сжимающим, то
(обозначили 
).
Тогда для l > k выполняется
Т.о. при l ® ¥, k ® ¥ выполняется 
, следовательно последовательность 
, , …, ,… сходится к предельному значению 
.
2. 
.
Это неравенство верно для любого k, т.е. 
меньше сколь угодно маленького положительного числа, т.е. 
.
Следовательно, — точное решение уравнения (8).
3. Предположим, что уравнение (8) имеет два точных решения и 
.
.
.
Теорема доказана.
Частный случай. Пусть n = 1, т.е. система состоит из одного уравнения
f(x) = 0 с одной неизвестной x.
Уравнению равносильно x = g(x). Решение xT — точка пересечения графиков функций y = x и y = g(x).
x1 = g(x0), x2 = g(x1), …
Если Вам понравилась эта лекция, то понравится и эта - 9. Организация как функция менеджмента.
На этом рисунке метод простых итераций сходится.
На следующем — нет.
Аналогом метода Зейделя является способ, когда координаты нового приближения 
вычисляются по очереди из одного уравнения системы:
.
