Системы нелинейных уравнений - метод Ньютона
Системы нелинейных уравнений: метод Ньютона
Идея метода: Пусть — приближенное решение уравнения (7), достаточно близкое к искомому точному решению. В окрестности уравнение (7) заменяется линейным уравнением (вспомогательной линейной задачей), решение которого берется в качестве следующего приближения.
1 случай) m = 1, т.е. одно уравнение f(x) = 0 с одной неизвестной.
Пусть x0 — "хорошее" начальное приближение.
— линейное уравнение, заменяющее исходное
— решение линейного уравнения
— рекуррентная формула, метод Ньютона
Геометрическая иллюстрация метода:
Рекомендуемые материалы
На следующем рисунке показана ситуация зацикливания:
Общий случай)
Дано: (7)
Опр. Линейный оператор назовем производной отображения в точке , если при .
Действие линейного оператора совпадает с произведением матрицы A на вектор , где , ,
Пусть — точно решение уравнения (7);
— некоторое приближение, близкое к ;
тогда .
рекуррентная формула, метод Ньютона.
Замечание: Матрица A–1 (зависящая от ) существует тогда и только тогда, когда A невырожденная.
Информация в лекции "24. Состав и разработка проектной документации" поможет Вам.
Теорема (о сходимости метода Ньютона) (без док-ва)
При выполнении условий:
"аналог сжимаемости": для некоторого a1 ≥ 0, любого и любого , где ;
"аналог дифференцируемости": , для некоторого a2 ≥ 0, любых ;
и при итерационный процесс Ньютона сходится с оценкой погрешности
.