Главная » Лекции » Математика » Численные методы анализа » 21 Системы нелинейных уравнений - метод Ньютона

21 Системы нелинейных уравнений - метод Ньютона

2021-03-09 СтудИзба

Системы нелинейных уравнений: метод Ньютона

Идея метода: Пусть  — приближенное решение уравнения    (7), достаточно близкое к искомому точному решению. В окрестности   уравнение (7) заменяется линейным уравнением (вспомогательной линейной задачей), решение которого берется в качестве следующего приближения.

1 случай) m = 1, т.е. одно уравнение f(x) = 0 с одной неизвестной.

Пусть x0 — "хорошее" начальное приближение.

 — линейное уравнение, заменяющее исходное

 — решение линейного уравнения

   — рекуррентная формула, метод Ньютона

Геометрическая иллюстрация метода:

для%20лекции8

Рекомендуемые файлы

На следующем рисунке показана ситуация зацикливания:

для%20лекции9

Общий случай)

Дано:    (7)

Опр. Линейный оператор  назовем производной отображения  в точке  , если  при .

Действие линейного оператора совпадает с произведением матрицы A на вектор , где ,  ,

Пусть  — точно решение уравнения (7);

— некоторое приближение, близкое к ;

тогда .

  рекуррентная формула, метод Ньютона.

Замечание: Матрица A–1 (зависящая от ) существует тогда и только тогда, когда A невырожденная.

Информация в лекции "24. Состав и разработка проектной документации" поможет Вам.

Теорема (о сходимости метода Ньютона) (без док-ва)

При выполнении условий:

"аналог сжимаемости":   для некоторого a1 ≥ 0, любого  и любого , где ;

"аналог дифференцируемости": , для некоторого a2 ≥ 0, любых ;

и при  итерационный процесс Ньютона сходится с оценкой погрешности

.

Свежие статьи
Популярно сейчас