Гиперболоиды и конус
§23. Гиперболоиды и конус.
Гиперболоидом называется поверхность, которая в некоторой декартовой системе координат определяется уравнением , где коэффициенты А, В и С − числа разных знаков, а L – отлично от нуля. Для определенности будем считать, что А и В больше нуля, а
С – меньше нуля: A > 0, B > 0, C < 0. В зависимости от знака L имеем два типа гиперболоидов.
I. L < 0. После стандартных преобразований (§22) получим уравнение: .
Снова воспользуемся методом сечений.
Плоскости z = h поверхность пересекает по эллипсам .
С увеличением h ( или z) полуоси эллипса увеличиваются. Минимальные полуоси будут при
h = 0 , т.е. в плоскости ХОY.
В плоскостях x = h (или y = h ) получаются гиперболы . (рис.12а)
Рекомендуемые материалы
При h < a или h > a (для y − h < b или h > b ) гиперболы ориентированы противоположно.
При h = a (h = b) сечениями являются прямые. Это свидетельствует о наличии у однополосного гиперболоида прямолинейных образующих.
При a = b имеем гиперболоид вращения.
Поверхность, описываемая уравнением называется однополосный гиперболоид.
Пример. Доказать, что т. (5,4,2) принадлежит гиперболоиду и найти прямолинейные образующие, проходящие через эту точку. {1)1+1−1=1;2) l:x=pt+5,y=qt+4,z=rt+2
Подставим в уравнение: приравняем коэффициенты нулю и положим r = 1 и вторая образующая
}
II. L > 0. В этом случае уравнение будет иметь вид: .
При z = h имеем , откуда сразу следует ограничение на h и, тем самым, на величину z: . В сечениях, как и в предыдущем случае будут эллипсы. При z = ±1 эллипсы вырождаются в точки (0,0,±1).
При x = h или y = h в сечениях опять получатся гиперболы, но в отличие от однополостного гиперболоида не меняющие ориентацию в зависимости от величины h (рис.12б).
Вам также может быть полезна лекция "1.3 Введение".
При a = b получим гиперболоид вращения.
Поверхность называется двуполостным гиперболоидом.
I. Пусть теперь при тех же ограничениях на А, В и С L = 0. Уравнение примет вид:
Сечения плоскостями z = h опять будут эллипсами с увеличивающимися полуосями при возрастании модуля z, а в сечениях x = h или y = h − пересекающиеся прямые (рис.12в).
Такие поверхности называются коническими или конусами.