Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов
§4. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов.
Определение 1. Система векторов {a1,…,an} называется линейно зависимой, если найдутся коэффициенты λ1,…,λn не все равные нулю, линейная комбинация с которыми равна нулю, т.е.
Определение 2. Система векторов {a1,…,an} называется линейно независимой, если ее линейная
комбинация равна нулю только с нулевыми коэффициентами: .
Имеют место несколько простых утверждений.
Теорема 1 (необходимое и достаточное условие линейной зависимости). Векторы а1,…,an – линейно зависимы когда хотя бы один из них является линейной комбинацией остальных.
{1.(необходимость: {ak} – л.з. ): Пусть, для определенности,
, т.е. а1 − линейная комбинация остальных.
Рекомендуемые материалы
2.(достаточность: am – л.к.): система лин. зав.}
Теорема 2. Если один из векторов системы равен нулю, то вся система линейно зависима.
{0a1 + … + 0an-1 +}
Теорема 3. Если подсистема линейно зависима, то и вся система линейно зависима.
{}
"15 Процесс урбанизации" - тут тоже много полезного для Вас.
Примеры.
1) . 2) они компланарны.
Отсюда следует, что три вектора на плоскости всегда линейно зависимы.
3) Четыре вектора в пространстве всегда линейно зависимы.
4) {f1 = 1, f2 = x, f3 = x2 } – линейно независимы.
5) {sin2x, cos2x, 1} − линейно зависимы.