Проекция вектора на ось

§3. Проекция вектора на ось.

  Определение 1. Осью  называется прямая, на которой задано положительное направление.

   Числовой осью называют ось, на которой заданы начало отсчета и масштаб (единичный отрезок).

Все точки числовой оси находятся во взаимно – однозначном соответствии с множеством действительных чисел. Началу отсчета, естественно, ставится в соответствие число  0.   

  Соответствующие точкам числа являются координатами точек относительно этой числовой оси.

Рассматривая некоторую ось u (не числовую), будем предполагать (по умолчанию) наличие единого масштаба во всем пространстве, содержащем эту ось.

 Определение 2. Величиной отрезка [АВ]  (обозначается АВ) называется число, равное длине этого отрезка и взятое со знаком «+», если  направлен по оси и со знаком «−», если − против, т.е. .                                                                                                                 

                                                                                                                    А'               В'         и

                                                                                                                             рис.9

Рекомендуемые материалы

Основные свойства величин отрезков (будем считать, что тт. А, В и  С  лежат на оси  и ):

1. АВ = −ВА  {Очевидно}

{При расположении точек в указанном порядке по направлению оси − равенство очевидно.

Пусть точки расположены иначе, например:  В, С, А → ВА = ВС + СА →

 −АВ = ВС −АС → АС  = АВ + ВС. Остальные случаи доказываются аналогично}

1. Пусть  и – числовая ось, а  А_и  и  В_и  − координаты точек  А  и  В на этой оси. Тогда

   АВ =  В_и −  А_и . {Очевидно} 

 Рассмотрим теперь произвольный вектор    и  ось  u  (рис.9). 

Определение 3. Ортогональной проекцией вектора    на ось  и  называется величина отрезка  А'В', где А'  и  В'  − ортогональные проекции точек  А  и  В  на эту ось (рис.9).

                                                    Пр_и = А'В' .

Из определения сразу следует, что проекция вектора на ось есть число.

  Если начало вектора поместить на ось и угол между вектором и осью обозначить через  φ, то для вычисления проекции имеем очевидное соотношение: Пр_и =  При этом необходимо учитывать, что угол  φ  отсчитывается от оси в положительном направлении, т.е. против часовой стрелки. Если  е_и − орт, сонаправленный оси  и, то в частном случае .

Замечание. Можно рассматривать и не ортогональные проекции вектора на ось. Для этого следует провести из концов вектора параллельные прямые, не перпендикулярные оси до пересечения с ней. Все основные свойства ортогональных проекций будут выполняться. Однако, в дальнейшем, по умолчанию, все проекции мы будем считать ортогональными.  

Линейные свойства проекций.

I.   Проекция произведения вектора на число равна произведению числа на проекцию этого вектора:

Бесплатная лекция: "Лекция 11 - Разработка системы адаптивного управления" также доступна.

{Доказательство следует из подобия. Необходимо рассмотреть 2 случая: λ > 0 и λ < 0}

II.  Проекция суммы векторов сумме проекций этих векторов:

{Для доказательства следует использовать св.2  величин отрезков}

Определение 3. Линейной комбинацией векторов  а₁,…,а_п  называется сумма следующего вида: , где все коэффициенты линейной комбинации.

(В общем случае, а_i − элементы некоторого множества, которые можно складывать и умножать на действительные числа)

Используя понятие линейной комбинации, можно оба линейных свойства проекций записать одной формулой: : проекция линейной комбинации векторов равна линейной комбинации проекций.