Линейные операции над векторами

§2. Линейные операции над векторами.

  На множестве векторов определены линейные операции: сложение векторов и умножение вектора на число.

I.  Сложение векторов.

Суммой 2 – х  векторов называется вектор, начало которого совпадает с началом первого, а конец с концом второго, при условии, что начало второго совпадает с концом первого.

Легко видеть, что сумма двух векторов, определенная                        

таким образом (рис.3а), совпадает с суммой векторов,   

построенной по правилу параллелограмма (рис.6).                                                 b  

Однако, данное правило позволяет строить            a 

сумму любого числа векторов (рис.3б).                   

Рекомендуемые материалы

                                                                                                         a+b      

                                                                                                          рис.3а

                  a

                                      b                               a+b+c

             рис.3б                                           c

   II.  Умножение вектора на число.

Произведением вектора  а  на число  называется вектор,                      a

длина которого равна , сонаправленный вектору  а  при λ > 0                     -0.7a  

и противоположно направленный при λ < 0.                                                     рис.4

    Вычитание векторов определяется как действие обратное сложению:

Определение. Разностью векторов а и b называется такой вектор c = a − b, который при сложении с вектором b дает вектор a : b + c = a (рис.5).

                                  Из рис.5 следует, что строить вектор разности удобнее, поместив

b            a−b              начала векторов  a  и  b  в общую точку.                     

                                        Очевидно следующее равенство: a + (−1)a = a − a = 0.

             a                         (Строгое доказательство предоставляется читателям)

         рис.5

  Замечание. Ноль в правой части последнего равенства есть нулевой вектор, а не число.

  Равенство  (−1)b = −b  дает еще один способ построения разности векторов: а−b = a+(−b). Т.е. при вычислении разности можно у вычитаемого вектора изменить направление на противоположное и построить сумму полученных векторов.

  Свойства  линейных  операций.

1. Переместительное свойство сложения (коммутативность).

a + b = b + a. {рис.6}

2. Сочетательное свойство сложения (ассоциативность).

(a + b) + c = a + (b + c).  {рис.7}

  3.   Дистрибутивность умножения

       а) (λ+μ)а = λа + μа.   {Очевидно}

       б) λ(a+b) = λa + λb.   {Следует из подобия (рис.8)}

  4.   λ(μа) = (λμ)а .     {Очевидно }

                                                                                           c

Обратите внимание на лекцию "Дополнение 2".

                  b                                                      b

                       a+b = b+a                                            b+c                                λb     λ(a+b)

                                                                          a+b                                      b

                                                                     a              (a+b)+c=a+(b+c)         a+b

                      a                                                                                               a        λa

                      рис.6                                           рис.7                                      рис.8