Базис. Координаты. Размерность
§5. Базис. Координаты. Размерность.
Определение 1. Базисом векторного пространства L называется система элементов,
удовлетворяющая двум условиям:
1) система {e1,…,en} линейно независима.
2) Любой вектор L линейно выражается через базисные (т.е. является линейной комбинацией элементов е1, е2, … , еn): .
Примеры. Базис на плоскости (V2 – 2 неколлинеарных вектора), в пространстве (V3 – 3 некомпланарных вектора), в пространстве многочленов степени ≤ n : (1,х,х2,…,хn).
Теорема 1. Коэффициенты разложения по базису – единственны.
{Пусть }
Определение 2. Координатами вектора в некотором базисе называются коэффициенты разложения по этому базису: а = () или .
Рекомендуемые материалы
Замечания. 1. В силу Т.1 данное определение – корректно.
2. В качестве стандарта можно рассматривать как векторы – строки , так и векторы – столбцы.
3. Координаты базисных векторов е1,е2,е3 (в пространстве) в собственном базисе равны:
е1 = (1,0,0), е2 = (0,1,0), е3 = (0,0,1).
Определение 3. Размерностью векторного пространства L (обозначается dimL) называется максимальное число линейно независимых векторов этого пространства.
Если такого числа не существует – пространство называется бесконечномерным.
Теорема 2. Размерность линейного пространства равна числу базисных векторов. {б/д}
Отсюда, в частности, следует, что все базисы одного пространства состоят из одинакового числа векторов.
Примеры. V2 ; V3 ; Rn; C[a,b].
Результаты линейных операций легко вычисляются в координатной форме.
Теорема 3. При сложении векторов их соответствующие координаты складываются:
.
{}
Теорема 4. При умножении вектора на число его координаты умножаются на это число:
λа = (λα1,…,λαn). {д – во аналогично}
В заключение рассмотрим пример базиса, который используется наиболее часто.
Определение 4. Ортонормированным базисом в пространстве называется базис, состоящий из трех взаимно ортогональных векторов единичной длины (на плоскости – из двух).
Эти векторы обозначают буквами i, j и k и называют
"2.4. Контурные шрифты" - тут тоже много полезного для Вас.
базисными ортами. Таким образом, выполняются соотношения
а a3k , а произвольный вектор а
k a2 j может быть представлен в следующем виде (рис.10):
j a = a1 i + a2 j + a3 k = ( a1, a2, a3 ).
a1i i
рис.10