Численное дифференцирование

Численное дифференцирование

Задача:

Дано:  x₀, x₁, ...,  x_n — узлы,

            f₀, f₁,  ...,  f_n — значения f(x) в узлах.

Найти: .

1 способ) Поскольку f(x) » L_n(x), то  (для 1 £ m £ n).

2 способ) Метод неопределенных коэффициентов.

Пусть ,                                    (1)

где c_i — коэффициенты, обеспечивающие точность формулы для функций f(x), являющихся многочленами наиболее высокой степени.

Рекомендуемые материалы

Если произвольный многочлен a₀+a₁x+...+a_nxⁿ степени n взят в качестве f(x), то выполняется

 для любых a₀,a₁,...a_n.

Равенство возможно только если коэффициенты при a_j совпадают, т.е.

 для i = 0,...,n.

Получаем СЛУ с неизвестными c₀,...c_n, (n+1) неизвестных, (n+1) уравнений.

(Такая же система получается, если в формулу (1) подставлять простые многочлены степени £ n, т.е. 1=x⁰, x, x²,...,xⁿ).

Главный определитель системы

— определитель Вандермонда (транспонированный).

Следовательно, решение c₀,...c_n существует и единственно.

3 способ) Использование простейших формул численного дифференцирования.

Вывод первой формулы: пусть даны  x₀, x₁ — узлы,  f₀, f₁ — значения f(x) в узлах, h = x₁ – x₀ расстояние между узлами.

По определению производной функции в точке .

Þ  , т.е.                (2)

Замечание: , т.е. производная в x₁ также вычисляется по формуле (2).

Очевидно, формула точна для многочленов степени 1.

Вывод второй формулы: пусть даны  x₀, x₁, x₂ — узлы,  f₀, f₁ , f₂ — значения f(x) в узлах, h = x₁ – x₀ = x₂ – x₀ расстояние между узлами.

Найдем формулу для производной в средней точке: .

Упростим задачу: пусть -h,0,h – узлы, f₀, f₁ , f₂ — значения.  — искомая формула.

Подставим в нее 1=x⁰, x, x². Получим СЛУ:

 Û .

Решение системы , , .

Тогда .

По причине линейности для произвольных узлов x₀, x₁, x₂  можно использовать те же коэффициенты, следовательно

                               (3)

Формула точна для многочленов степени 2.

Вывод третьей формулы: пусть даны  x₀, x₁, x₂ — узлы,  f₀, f₁ , f₂ — значения f(x) в узлах, h = x₁ – x₀ = x₂ – x₀ расстояние между узлами.

Найдем формулу для второй производной в средней точке: .

Упростим задачу: пусть -h,0,h – узлы, f₀, f₁ , f₂ — значения.  — искомая формула.

Подставим в нее 1=x⁰, x, x². Получим СЛУ:

 Û .

Если Вам понравилась эта лекция, то понравится и эта - Товарная политика в маркетинге.

Решение системы , , .

Тогда .

По причине линейности для произвольных узлов x₀, x₁, x₂  можно использовать те же коэффициенты, следовательно

                               (4)

Формула также точна для многочленов степени 2.

Д/З Вывести формулы для вычисления  через  и для  через  методом неопределенных коэффициентов.