Теоремы о предельном переходе под знаком интеграла
§ 7. Теоремы о предельном переходе под знаком интеграла.
7.1. Теорема 18 (О монотонной сходимости) Пусть 
случайные величины. Тогда справедливы следующие утверждения:
а) если 
;
б) если 
.
Доказательство. а) Предположим, что 
. Пусть для каждого 
- последовательность простых случайных величин таких, что 
при 
. Обозначим
. Тогда очевидно, что 
. Пусть 
, поскольку для 
, то переходя к пределу при получим, что для любого 
, значит 
. Так как случайные величины простые и 
, то 
.
С другой стороны, очевидно, что 
. Поэтому 
, значит =
.
Пусть теперь 
- случайная величина с 
. Если 
, то в силу свойства В) математических ожиданий =
, утверждение доказано.
Рекомендуемые материалы
Пусть 
, тогда вместе с условием получаем: 
. Очевидно, что 
для всех 
. Поэтому, согласно доказанному 
и значит по свойству Е) математических ожиданий 
. Так как , то 
при .
Доказательство пункта б) следует из а), если вместо исходных случайных величин рассмотреть случайные величины со знаком минус.
7.2. Следствие 19. Пусть 
случайные величины. Тогда 
.
7.3. Теорема 20(Лемма Фату). Пусть случайные величины. Тогда справедливы следующие утверждения:
а) если 
то 
;
б) если 
, то 
,
в) если 
,то 
.
Доказательство. а) Пусть 
. Тогда 
=
. Ясно, что 
и 
для всех 
. Тогда по теореме 18 имеем
М
ММ
. Таким образом а) –доказано.
Утверждения б) и в) доказываются аналогично.
7.4. Теорема 21 (Лебега о мажорируемой сходимости). Пусть случайные величины такие, что P – п.н. 
и 
Тогда 1)
, 2)
при .
Доказательство. По условию 
Р- п.н. Поэтому в силу пункта а) леммы Фату и по свойству G) математических ожиданий имеем М 
М
. Таким образом первое утверждение установлено, так как из неравенства 
следует, что 
.
Утверждение 2) доказывается также, если заметить, что 
.
Следствие 22. Пусть выполнены условия теоремы Лебега о мажорируемой сходимости и 
для р>1. Тогда 
и 
.
Доказательство. Заметим, что , 
. Поэтому доказательство следует из теоремы 21.
7.5. Определение. Семейство случайных величин 
называется интегрируемым (р.и.), если 
когда 
или 
.
Очевидно, что если последовательность 
такая, что и , то семейство - р.и.. Приведем критерий равномерной интегрируемости последовательности .
Теорема 23. Последовательности равномерно интегрируема тогда и только тогда, когда выполняются условия:
i) для любого 
существует такое 
, что 
и 
;
ii) 
.
Доказательство. Для любой положительной случайной величины 
, множества 
и всех 
справедливо неравенство
+ 
.
Отсюда вытекает, что
+
(4)
Необходимость условия i) следует из (4), если в нем положить что 
и Р(А) 
. Условие ii) следует из (4), если в нем положить 
.
Обратно. Сначала заметим, что для любой положительной случайной величины 
справедливо неравенство
М
. (5)
Если выполнено ii), то в силу (5) имеем
.
Если выполнено i), то возьмем 
такое, что 
для любых . Тогда 
для всех . Стало быть семейство -равномерно интегрируемо. Доказательство закончено.
Предложение 24. Семейство случайных величин 
равномерно интегрируемо тогда и только тогда, когда 
.
Доказательство. Необходимость очевидна, так как 
.
Достаточность. Обозначим р(с) 
. Очевидно, что р(с) = 0. Заметим, что:
1) 
для всех с, поэтому 
;
2)
. (6)
Пусть и выберем c таким, что р(c)
, а 
таким, что 
. Тогда в силу (6) 
для любого n. Значит семейство равномерно интегрируемо. Доказательство закончено.
7.6. Приведем теперь достаточное условие равномерной интегрируемости.
Теорема 25. Пусть - последовательность интегрируемых случайных величин, а 
- возрастающая функция такая, что 
и 
. Тогда семейство - равномерно интегрируемо.
Доказательство. Пусть 
. Выберем для 
число 
большим таким, что 
. Тогда 
равномерно по n. Доказательство закончено.
Следствие 26. Пусть последовательность случайных величин такая, что 
, где . Тогда последовательность- равномерно интегрируема.
Доказательство. Действительно из неравенства 
вытекает равномерная интегрируемость. Доказательство закончено.
Следствие 27. Пусть семейство случайных величин - равномерно интегрируемо. Тогда 
.
Доказательство. Для фиксированного , имеем в силу теоремы 22 для любого конечного 
= 
+
. Доказательство закончено.
7.6. Теорема 28. Пусть - семейство равномерно интегрируемых случайных величин. Тогда справедливы утверждения.
1) 
;
2) Если 
, тогда i) случайная величина 
- интегрируема, ii) при 
, iii) 
при .
Доказательство. а) Для всякого 
Обратите внимание на лекцию "52 Крупнейшие битвы Великой Отечественной войны".
. (7)
В силу равномерной интегрируемости для 
величину с можно выбрать сколь угодно большой, такой что 
. Поэтому по лемме Фату 
, но 
, значит
. (8)
Из (7) и (8) следует, что 
. В силу произвольности следует, что 
. Аналогичным образом доказываются другие неравенства. Утверждение пункта б) следует из а) в силу теоремы Лебега о мажорируемой сходимости.
7.7. Из теорем 23 и 28 следует утверждение.
Теорема 29. Пусть 
и 
. Тогда тогда и только тогда, когда - равномерно интегрируема. (Без доказательства)
