Теоремы о предельном переходе под знаком интеграла

§ 7. Теоремы о предельном переходе под знаком интеграла.

7.1. Теорема 18 (О монотонной сходимости) Пусть

случайные величины. Тогда справедливы следующие утверждения:

а) если ;

б) если .

Доказательство. а)  Предположим, что . Пусть для каждого    - последовательность простых случайных величин таких, что  при . Обозначим . Тогда очевидно, что . Пусть , поскольку для , то переходя к пределу при  получим, что для любого  , значит . Так как случайные величины  простые и , то .                 

С другой стороны, очевидно, что . Поэтому , значит         =.

Пусть теперь  - случайная величина с . Если , то в силу свойства В) математических ожиданий =, утверждение доказано.

Рекомендуемые материалы

Пусть , тогда вместе с условием   получаем: . Очевидно, что  для всех . Поэтому, согласно доказанному  и значит по свойству Е) математических ожиданий . Так как  , то   при .

Доказательство пункта б) следует из а), если вместо исходных случайных величин рассмотреть случайные величины со знаком минус.

7.2. Следствие 19. Пусть  случайные величины. Тогда .

7.3. Теорема 20(Лемма Фату). Пусть случайные величины.                     Тогда справедливы следующие утверждения:

а) если то ;

б) если ,  то ,

в) если ,то .

Доказательство. а) Пусть . Тогда =. Ясно, что и  для всех . Тогда по теореме 18 имеем

МММ. Таким образом  а) –доказано.

Утверждения б) и в) доказываются аналогично.

7.4. Теорема 21 (Лебега о мажорируемой сходимости).  Пусть случайные величины такие, что P – п.н.  и   Тогда 1),  2) при .                 

Доказательство. По условию  Р- п.н. Поэтому в силу пункта а) леммы Фату и по свойству G) математических ожиданий имеем  М М. Таким образом первое утверждение  установлено, так как из неравенства  следует, что .

Утверждение 2) доказывается также, если заметить, что .

Следствие 22. Пусть выполнены условия теоремы Лебега о мажорируемой сходимости и  для р>1. Тогда   и .

Доказательство. Заметим, что , . Поэтому доказательство следует из теоремы 21.

7.5. Определение. Семейство случайных величин  называется интегрируемым (р.и.), если   когда  или .

Очевидно, что если последовательность  такая, что  и , то семейство  - р.и.. Приведем критерий равномерной интегрируемости последовательности .

Теорема 23.  Последовательности  равномерно интегрируема тогда и только тогда, когда выполняются условия:

i)  для любого    существует такое , что  и ;

ii) .

Доказательство. Для любой положительной случайной величины  , множества   и всех  справедливо неравенство

 + .

Отсюда вытекает, что

+                                    (4)

Необходимость условия i) следует из (4), если в нем положить что

и Р(А) . Условие ii) следует из (4), если в нем положить .

Обратно. Сначала заметим, что для любой положительной случайной величины  справедливо неравенство

М.                                         (5)

Если выполнено ii), то в силу (5) имеем

.

Если выполнено i), то возьмем   такое, что  для любых . Тогда  для всех . Стало быть семейство  -равномерно интегрируемо. Доказательство закончено.

Предложение 24. Семейство случайных величин  равномерно интегрируемо тогда и только тогда, когда .

Доказательство. Необходимость очевидна, так как .

Достаточность. Обозначим р(с) . Очевидно, что р(с) = 0. Заметим, что:

1)  для всех с, поэтому ;

2) 

 .                                                      (6)

Пусть  и выберем c таким, что р(c), а  таким, что  . Тогда в силу (6)       для любого n. Значит семейство равномерно интегрируемо. Доказательство закончено.

7.6. Приведем теперь достаточное условие равномерной интегрируемости.

Теорема 25. Пусть  - последовательность интегрируемых случайных величин, а  - возрастающая функция такая, что  и . Тогда семейство - равномерно интегрируемо.

Доказательство.  Пусть . Выберем для   число  большим таким, что . Тогда   равномерно по n. Доказательство закончено.

Следствие 26.  Пусть  последовательность случайных величин такая, что , где . Тогда последовательность- равномерно интегрируема.

Доказательство. Действительно из неравенства  вытекает равномерная интегрируемость. Доказательство закончено.

Следствие 27. Пусть семейство случайных величин  - равномерно интегрируемо. Тогда .

Доказательство. Для фиксированного , имеем в силу теоремы 22 для любого конечного

=

+. Доказательство закончено.

7.6. Теорема 28. Пусть  - семейство равномерно интегрируемых случайных величин. Тогда справедливы утверждения.

1) ;

2) Если , тогда i) случайная величина  - интегрируема, ii)  при , iii)  при .

Доказательство. а) Для всякого

Обратите внимание на лекцию "52 Крупнейшие битвы Великой Отечественной войны".

.                                                          (7)

В силу равномерной интегрируемости для  величину с можно выбрать сколь угодно большой, такой что . Поэтому по лемме Фату , но , значит
.                                                                  (8)

Из (7) и (8) следует, что . В силу произвольности  следует, что . Аналогичным образом доказываются другие неравенства. Утверждение пункта б) следует из а) в силу теоремы Лебега о мажорируемой сходимости.

7.7. Из  теорем 23 и 28 следует утверждение.

Теорема 29. Пусть  и . Тогда тогда и только тогда, когда  - равномерно интегрируема.  (Без доказательства)