Сходимость последовательностей случайных величин по вероятности и почти наверное
§ 6. Сходимость последовательностей случайных величин по вероятности и почти наверное.
6.1. Пусть на задано последовательность случайных величин.
Определение. Последовательность случайных величин называется сходящейся по вероятности к случайной величине , обозначается или , если для при .
Теорема 14. Последовательность случайных величин сходится по вероятности к случайной величине тогда и только тогда, когда при .
6.2. Определение. Последовательность случайных величин называется сходящейся с вероятностью 1 к случайной величине , если , обозначается .
Следующее утверждение хорошо известно [1].
Теорема 15. Справедливы следующие утверждения.
1) Для того, чтобы , необходимо и достаточно, чтобы для любого при .
2) Пусть , тогда .
Рекомендуемые материалы
3) Пусть ., тогда существует подпоследовательность такая, что .
Замечание. Так как для любого =
, то условие является достаточным для сходимости .
6.3. Теорема 16. (Егорова) Пусть . Тогда для любого существует измеримое множество такое, что > , причем на множестве сходимость равномерная.
29. Характеристика зональных подтипов чернозёмов. - лекция, которая пользуется популярностью у тех, кто читал эту лекцию.
Задача. Докажите самостоятельно утверждение теоремы 16.
6.4. Мы часто будем использовать следующее утверждение.
Лемма 17. (Бореля-Кантелли) Пусть последовательность событий и . Если , то Р(А) = 0.
Доказательство. В силу свойства вероятности имеем
Р(А) = .
Доказательство закончено.