Сходимость в пространстве Lp
§ 8. Сходимость в пространстве Lp.
8.1. Определение. Множество действительных случайных величин 
таких, что 
при 
и 
, при 
обозначим через 
и в этом случае будем писать 
,
. Отметим, что 
при 
является банаховым пространством относительно нормы: 
, при , 
, при .
Из этих определений следует, что : а) 
, если 
; б) 
- является гильбертовым пространством относительно скалярного произведения 
, где 
.
8.2. Определение. Пусть 
- последовательность случайных величин такая, что 
. Будем говорить, что 
сходится в среднем порядка р к случайной величине 
, если 
и использовать обозначение 
.
В частности, если: 1) р=1 и 
, то говорят, что 
сходится к 
в среднем; 2) р=2 и 
, то говорят, что сходится к в среднеквадратическом смысле и обозначают 
; 3) при р =
сходимость называется существенно равномерной.
8.3. Приведем теперь без доказательства критерий Коши сходимости в .
Теорема 30. Пусть последовательность из , . Следующие утверждения эквивалентны:
1) - сходящаяся в последовательность,
Рекомендуемые материалы
2) 
при 
.
8.4. Из результатов §7 следует утверждение.
Теорема 31. Пусть последовательность из , . Следующие утверждения эквивалентны:
1) последовательность 
- равномерно интегрируема и 
;
2) и .
Доказательство этого утверждения следует из неравенства 
и теоремы 26.
8.5. Из теоремы 31 вытекают следующие утверждения.
Следствие 32. Пусть выполнены условия теоремы 31. Пусть существует 
мажорирующая 
Р-п.н. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
1) 
;
2) и .
Следствие 33. 1) Пусть 
и 
, тогда 
.
"5 Политическое устройство римской цивитас эпохи ранней республики" - тут тоже много полезного для Вас.
2) Пусть 
и , тогда 
.
8.6. Опишем теперь слабую сходимость в 
.
Определение. Последовательность с 
называется слабо сходящейся в к случайной величине 
с 
, если для любой ограниченной случайной величины 
справедливо равенство 
.
Определение. Последовательность случайных величин называется слабо компактной в , если она содержит слабо сходящуюся подпоследовательность.
Приведем критерий слабой компактности Данфорда-Петтиса.
Теорема 34. Для того чтобы последовательность случайных величин с была слабо компактной в необходимо и достаточно, чтобы она была равномерно интегрируема.
