Дифференциальные уравнения

Лекция 11. Дифференциальные уравнения.

Дифференциальным уравнением называется уравнение относительно независимой переменной, неизвестной функции и ее производных.

Дифференциальное уравнение общего вида выглядит следующим образом:

. Здесь x – независимая переменная, y(x) – неизвестная функция.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в уравнение.

Если, пользуясь теоремой о неявной функции, из уравнения общего вида удается выразить явно старшую производную, то такое уравнение называется уравнением, разрешенным относительно старшей производной.

.

Дифференциальные уравнения первого порядка.

Рекомендуемые материалы

Дифференциальное уравнение первого порядка общего вида выглядит следующим образом:

.

Предположим, что дифференциальное уравнение удалось разрешить относительно производной:  или 

.

Функция  называется решением дифференциального уравнения первого порядка, если при подстановке этого решения в уравнение получаем тождество.

.

Функция  называется общим решением дифференциального уравнения первого порядка в области , если

- при любой постоянной  функция  является решением,

- для любого набора начальных условий  существует константа  такая, что , т.е. существует решение из семейства  (при ), удовлетворяющее этим начальным условиям.

Одной из основных задач является задача отыскания общего решения дифференциального уравнения

Если зафиксировать постоянную в общем решении, мы получим частное решение дифференциального уравнения первого порядка.

Функция  называется первым интегралом дифференциального уравнения, если она сохраняет свои значения на его решениях (=С).

По сути дела, это – закон сохранения (функция  сохраняет значения на  решениях дифференциального уравнения).

Интегральной кривой называется график решения дифференциального уравнения.

Одной из основных задач является также задача Коши - задача отыскания частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям  или интегральной кривой, проходящей через заданную точку .

Теорема существования решения задачи Коши.

Пусть функция непрерывна в области , тогда существует хотя бы одно решение, удовлетворяющее любым заданным начальным условиям  или существует хотя бы одна интегральная кривая, проходящая через точку .

Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

Пусть функция непрерывна в области и удовлетворяет в этой области одному из трех условий:

А: функция  удовлетворяет условию Липшица по :

    ,

В: существует и ограничена частная производная ,

D: существует и непрерывна частная производная .

Бесплатная лекция: "17 Внешняя политика России после смерти Петра" также доступна.

Заметим, что из условия D следует условие В., а из условия В следует условие А. Поэтому класс  функций, удовлетворяющих условию А, шире, чем класс функций, удовлетворяющих условию В, а класс  функций, удовлетворяющих условию В, шире, чем класс функций, удовлетворяющих условию С. Условие А проверить трудно, а условие В или условие D проверить гораздо легче.

Если в какой-либо точке  решение дифференциального уравнения не существует (через точку не проходит интегральная кривая), то в ней разрывна функция  .

Если через какую-либо точку проходят две или более интегральных кривых, то функция  непрерывна в этой точке, но ни одно из условий А, В, D не выполнено в ней.

Пример. Найти общее и частное решение уравнения .

Очевидно, что общее решение будет . Так как правая часть непрерывна и удовлетворяет условию D, то через любую точку конечной плоскости OXY проходит единственная интегральная кривая.

Для заданных начальных условий  существует константа , такая что .