Измеримые пространства

§ 2. Измеримые пространства.

Примеры -алгебр:

1) =(0, ) – бедная алгебра,

2) ={A:A} - богатая алгебра,

3) ={A:, A, 0,} называют алгеброй, порожденной множеством А.

Вопрос: Когда алгебра А()  будет являться алгеброй F?

Определение . Система М() подмножеств  называется монотонным классом, если из того, что АМ() n=1,2,..  и , т.е.  и  следует, что М().

Теорема 2. Для того, чтобы алгебра А() была алгеброй F необходимо и достаточно, чтобы она являлась монотонным классом.

Рекомендуемые материалы

2.1. Измеримое пространство (R¹, B (R¹))

Пусть R¹=(-,] – действительная прямая и (a,b] = { R¹: } для всех . Обозначим через А(R¹) систему множеств в  R¹, состоящую из конечных сумм непересекающих интервалов вида (a,b] : А(R¹), где . Нетрудно видеть, что эта система множеств, а также  – образуют алгебру – А(R¹)  , которая не является алгеброй, так как А(R¹), но  А(R¹).

Определение. B (R¹) – наименьшая алгебра, порожденная А(R¹)  называется борелевской алгеброй, а ее множества – борелевскими.

Если обозначить через  систему интервалов (a,b], а через  - наименьшую алгебру содержащую . Нетрудно установить B (R¹)= .

Из каких элементов B (R¹)? Из предыдущих построений следует, что B (R¹) состоит из интервалов вида , где , и их счетных объединений и пересечений. Отсюда следует, что:

i)  ii)  iii)

2.2. Измеримое пространство (Rⁿ,B (Rⁿ))

Пусть Rⁿ = RR…R – называется прямое или декартово произведение n экземпляров числовой прямой, то есть, множество упорядоченных наборов , где , .

Множество  где , называется прямоугольником, то есть, Rⁿ : , а  - его сторонами.

Через (Rⁿ) обозначим совокупность всех прямоугольников из Rⁿ. (Rⁿ) - наименьшая алгебра порожденная  - называется борелевской алгеброй множеств Rⁿ, которую и обозначим через B (Rⁿ).

2.3. Измеримое пространство (R,B (R))

R- пространство числовых последовательностей  где - ,  Пусть  - борелевское множество к-ой числовой прямой (то есть, множество B (R¹)). Рассмотрим множества :

i)  R :};

ii)  R :};

iii)  B (R )   R : .

Такие множества называются цилиндрическими, причем  называют основанием цилиндра, а остальные координаты – образующими цилиндра. Нетрудно видеть, что множества  , ,  образуют алгебру. Обозначим наименьшие  алгебры, порожденные множествами вида i)-iii) через B (R), B₁(R), B₂(R), соответственно. Можно показать, что эти алгебры совпадают.

2.4. Измеримое пространство (R^Т , B (R^Т))

Пусть Т – произвольное пространство, множество. Пространство R^Т – совокупность действительных функций на T со значениями в  R¹, обозначенные . Для простоты будем считать, что . Обозначим:, где . Проводя рассуждения аналогичные приведенным в пункте 2.3, легко построить алгебру борелевских множеств на R^Т, порожденную цилиндрическими множествами и обозначаемую через B  (R^Т).

Возникает вопрос: какова структура множества  B  (R^Т)? Оказывается, что любое множество B  (R^Т) допускает представление , где  B  (R). Отсюда следует, что множества, зависящие от поведения функций в несчетном числе точек t Т необязаны быть измеримыми относительно B  (R^Т). Например:  i)},  ,
ii)  - непрерывные в точке .

В связи с неизмеримостью некоторых множеств из R^Т по отношению к B (R^Т) естественно рассматривать более узкие функциональные пространства.

2.5. Измеримое пространство (С[0,T], B  (С[0,T])).

Сердечно-сосудистая система - лекция, которая пользуется популярностью у тех, кто читал эту лекцию.

Пусть Т=[0,1], С[0,1] - пространство непрерывных функций x_t, t [0,1],  со значениями в R¹. Очевидно, С[0,1] –метрическое пространство, относительно метрики ρ(х,у)= , то есть  ρ(х,у) – расстояние между двумя непрерывными функциями, обладающие свойствами:

1) ρ (х,у)=0x=y;  2)  ρ (х,у)= ρ (у,x);  3) ρ (х,у) ρ (x,z)+ ρ(z,y).

Через B  (С[0,T]) обозначим наименьшую алгебру, порожденную цилиндрическими множествами, которые строятся аналогично пункту 2.4.

2.6. Измеримое пространство (D,B(D)).

D – пространство функций x_t , t  [0,1], со значениями в R¹ , непрерывные справа, имеющие пределы слева в любой точке  t[0,1]. В нем  также можно ввести метрику:

ρ_s(x,y)inf {,
где  - множество строго возрастающих непрерывных на отрезке [0,1] функций , причем  и }. -алгебра B(D) строится аналогично пункту 2.4.