Аксиоматика Колмогорова
Глава 1. Основания теории случайных процессов.
§ 1. Аксиоматика Колмогорова.
Определение. Пусть . - система подмножеств множества называется алгеброй если:
а) , ;
б) ААА;
в) АА
Определение. Пусть А - алгебра подмножества множества . Функция : А где, называется конечно аддитивной мерой на А, если А выполняется
Конечно аддитивная мера называется конечной, если . Конечная мера называется вероятностной, если .
Определение. Тройка А,Р), где - некоторое множество, А- алгебра подмножества множества , Р - конечно аддитивная вероятностная мера на А, называется вероятностной моделью в широком смысле.
Рекомендуемые материалы
Для построения конструктивной математической теории, такое определение вероятностной модели является слишком широким.
Определение. Система F- подмножеств множества называется алгеброй, если:
1) она является алгеброй,
2) , для то и .
Определение . с алгеброй F называется измеримым пространством и обозначается (,F).
Определение . Конечно аддитивная мера задана на А называется счетно аддитивной (аддитивной) мерой (или просто мерой), если из того, что для любых попарно непересекающихся множеств А1, А2, … из А таких, что А, следует, что
Счетно аддитивная мера на F называется конечной, если можно представить в виде где А с
Счетно аддитивная мера Р на алгебре А, удовлетворяющая условию Р называется вероятностной мерой определенной на множествах алгебры А.
Приведем некоторые свойства вероятностных мер:
1)
2) если АРР РР.
3) если А и Р Р.
4) Если А n=1,2,.. и А Р.
Задача1: Докажите первые три свойства самостоятельно.
Доказательство свойства 4. Заметим, что , где при и , .Очевидно, что при и так как , то имеем .
Вопрос: Когда конечно аддитивная мера является счетно аддитивной?
Теорема 1. Пусть P - конечно аддитивная функция множеств, заданная на А с =1. Тогда следующее утверждения эквивалентны:
1) P -аддитивна;
Вместе с этой лекцией читают "16 - Так говорил Заратуштра".
2) Р – непрерывна сверху (то есть, если =1,2,…,где А,
такие что и А, то ;
3) Р – непрерывна снизу (то есть, если А, =1,2,… и А, то ;
4) Р – непрерывна в нуле (если А, =1,2,…, и Ø, то .
Определение. Тройка (, F, Р ) называется вероятностной моделью или вероятностным пространством, где называется пространством исходов или пространством элементарных событий, множества – событиями, где F - алгебра на , а Р(А) – вероятностью события А.