Задание вероятностных мер на измеримых пространствах

§ 3. Задание вероятностных мер на измеримых пространствах.

3.1. Измеримое пространство (R¹,B(R¹)).

Пусть F: R¹[0,1] - измеримая функция, обладающая свойствами:

1) неубывающая;

2)  F(-)=0  F()=1, где F(-)=  и  F()=;

3) непрерывна справа и имеет предел слева в каждой точке  R¹.

Определение. Всякая функция F(x), удовлетворяющая свойствам 1)- 3) называется функцией распределения на R¹ .

Теорема 3. Пусть - функция распределения на R¹, тогда на       (R¹, B(R¹)) существует и притом единственная вероятностная мера Р такая, что для любых , причем , Р

Пример: пусть функция распределения  имеет вид:

Рекомендуемые материалы

  =

Соответствующую ей меру называют мерой Лебега отрезка  и обозначают Λ, причем Λ

Приведем классификацию мер на (R¹, B (R¹)).

3.1.1. Дискретные меры.

 Пусть - функция распределения кусочно-постоянна и меняет свои значения в точках х₁,х₂, …, причем  где  Ясно, что соответствующая этой функции распределения вероятностная мера Р сосредоточена в точках        х₁,х₂, …, причем Р.

Набор чисел  где - называется дискретным распределением.

Примеры дискретных распределений содержатся в приведенной ниже таблице.

3.1.2. Абсолютно непрерывные меры.

Пусть существует неотрицательная функция   такая, что функция распределения  допускает представление:

Функцию  ()  называют плотностью функции распределения .

Пример:   Функцию ,  называют гауссовской плотностью. Легко убедиться в том, что

3.1.3. Сингулярные распределения.

Определение.  Точка называется точкой роста функции распределения, если    для любого .

Определение. Сингулярными мерами  называются меры, функции распределения которых непрерывны, причем точки  роста, которые образуют множество нулевой меры Лебега.

Пример.  Возьмем отрезок  и построим на нем сингулярную функцию распределения  с помощью приема, принадлежащего Кантору Г. Пусть F_o – функция распределения, соответствующая мере Лебега на отрезке [0,1].Разделим  на 3 равные части и определим  - функцию распределения следующим образом:
= 0, при x < 0; = x, при x [0,); = , при x [,); = x – , при x  [,1); = 1, при x > 1. Затем, каждый из интервалов  и  опять поделим на 3 равные части и определим функцию распределения  следующим образом:

= 0, при x < 0; = x, при x [0,); =  при x[,];= x - , при x [,];=  при x[,);= x – 1, при x [,);=  при x[,);= x - , при x[,1].

Продолжая этот процесс далее мы построим последовательность функции распределения , которая, очевидно,  сходится  при  к некоторой неубывающей непрерывной функции распределения . Очевидно, что точки роста функции распределения имеет нулевую меру Лебега, так как общая длина интервалов, на которых  принимает постоянные значения равна 1. Действительно, общая длина интервалов постоянства функции  равна

Пусть - множество точек роста функции распределения, тогда из последнего рассуждения следует, что  (в этих случаях говорят, что мера, соответствующая этой функции распределения сингулярна по отношению к мере Лебега ).

Теорема 4.(Лебега)  Любая функции распределения на прямой R¹ представима в виде:

 ,

где  и , а - дискретная, - абсолютно непрерывная, - сингулярная функции распределения.

3.2. Измеримое пространство (Rⁿ ,B(Rⁿ)).

Пусть  - измеримая функция, непрерывная справа (по совокупности измененных), имеющая левый предел.  Введем оператор , действующей по правилу

.

Определение.  Всякая непрерывная справа функция  удовлетворяющая условиям:

1)  для любых , i = ;

2) ;

3) , если хотя бы одна из координат n-мерного вектора принимает значение ,

называется -мерной функцией распределения.

Очевидно следующее утверждение.

Теорема 5. Пусть  - -мерная функция распределения. Тогда на (Rⁿ,B(Rⁿ)) существует единственная вероятностная мера Р такая, что  , где ,  .

Примеры. 1) Пусть

=  

мерная функция распределения вероятностей, которой соответствует мера Лебега на .

2) ,где

.

3.3. Измеримое пространство (R,B(R))

Обозначим через R:(), где  Rⁿ   – цилиндрическое множество в с основанием  B(Rⁿ). Пусть последовательность вероятностных мер  определенных, соответственно, на (R¹ , B(R¹)), (R² , B(R²)), обладает следующим свойством:

                                                                           (1)

где , .

Условие (1) называют условием (свойством) согласованности.

Теорема 5. (Колмогорова о продолжении вероятностной меры на (R, B(R)). Пусть  - последовательность вероятностных мер, соответственно, на (R¹, B(R¹)), (R², B(R²)), обладающая свойством согласованности. Тогда существует единственная мера Р на (R, B(R)) такая, что для каждого   PPдля .

3.4. Измеримое пространство (R^Т , B(R^Т))

Обратите внимание на лекцию "Движение ледников".

Пусть Т=[0,T] – произвольное множество индексов R_t  - числовая прямая, соответствующая индексу . Рассмотрим произвольный конечный неупорядоченный набор  различных индексов ,  и пусть P_t - вероятностная мера на (R,B(R)), где R= RR.

Определение. Будем говорить, что семейство вероятностных мер (- пробегает множество всех конечных неупорядоченных наборов), является согласованным, если  а) для любых двух  наборов  и  причем , выполняется равенство

,

где , б) выполнено (1).

Теорема 6. (Колмогорова о продолжении вероятностной меры на

(R^Т ,B(R^Т))). Пусть - согласованное семейство вероятностных мер на (R,B(R)). Тогда существует единственная вероятностная мера Р на (R^Т ,B(R^Т)) такая, что  для всех неупорядоченных наборов  различных индексов  и  B(R).