Случайные величины, случайные элементы
§ 4. Случайные величины, случайные элементы.
4.1. Пусть (,F) и (R1,B(R1)) - измеримые пространства.
Определение. Действительная функция определенная (,F), принимающая значения в R1 называется F – измеримой или случайной величиной, если: B(R1) F (то есть, прообраз является измеримым множеством в ).
Если =(Rn,B(Rn)), то B(Rn) – измеримые функции называются борелевскими.
Простейшим примером случайной величины является
Определение. Случайная величина представимая в виде
(2)
Рекомендуемые материалы
где F называется дискретной. Если число слагаемых в сумме в (2) конечно, то случайная величина называется простой.
Замечание. Случайная величина это некоторая характеристика эксперимента, результаты которого зависят от случая . Требование измеримости важно. Действительно, если на (,F) задана вероятностная мера Р и , то в этом случае можно говорить о вероятности события, состоящего в том, что значение случайной величины принадлежит борелевскому множеству В.
Определение. Вероятностная мера на (R,B(R)) с , B(R1), называется распределением вероятностей случайной величины на (R,B(R)).
Определение. Функция Р, где R1, называется функцией распределения случайной величины .
Замечание.Для дискретной случайной величины мера сосредоточена не более чем в счетном числе точек и может быть представлена в виде
,
где .
Определение. Случайная величина называется непрерывной, если ее функция распределения непрерывна. Случайная величина называется абсолютно непрерывной, если ,R1.
4.2. Вопрос: Когда функция обозначаемая является случайной величиной? Для этого надо проверить условие F для любого B(R1).
Лемма 7. Пусть e – некоторая система множеств такая, что (e)=B(R1). Для того, чтобы была F - измеримой необходимо и достаточно, чтобы F для всех e.
Доказательство. Необходимость очевидна.
Достаточность. Пусть D – система борелевских множеств , для которых F. Известно, что:
i), ii), iii)=.
Отсюда следует, что система D – является -алгеброй, значит
DB(R1) и (e), следовательно D=B(R1).
Лемма 8. Пусть : R1R1 - борелевская функция, а - случайная величина. Тогда сложная функция (то есть ) - случайная величина.
Доказательство. Действительно
,
так как B(R1), B(R1).
Доказательство закончено.
Определение. Функция на (,F) со значениями в = называется расширенной случайной величиной, если: для B(R1) F.
Теорема 9. 1) Для любой случайной величины найдется последовательность простых случайных величин таких, что и при для всех .
2) Если случайная величина , то найдется последовательность простых случайных величин таких, что для всех .
Доказательство. Начнем с пункта 2). Положим , и
непосредственной проверкой, устанавливается, что для всех. Отсюда следует и доказательство пункта 1) так как можно представить в виде , где .
Теорема 10.Пусть - последовательность расширенных случайных величин и = . Тогда -расширенная случайная величина.
4.3. Определение. Пусть - случайная величина. Пусть множества из вида , B(R1) . Наименьшую -алгебру порожденную такими множествами называют -алгеброй, порожденной случайной величиной и обозначают ее через Fx.
Если - борелевская функция, то из леммы 7 следует, что - случайная величина, причем Fx - измерима. Оказывается, справедливо и обратное утверждение.
Теорема 11. (Бореля). Пусть –измеримая случайная величина. Тогда найдется борелевская функция : R1R1 такая, что , т.е. для каждого . (Докажите самостоятельно.)
4.4. Определение. Пусть (,F) и (E,e) - измеримые пространства. определенная на принимающая значения в E называется F/ e –измеримой функцией или случайным элементом (со значениями в E e F). (3)
Примеры случайных элементов:
1) Если (E, e) = (R1,B(R1)), то определение случайного элемента совпадает с определением случайной величины.
2) Пусть (E, e) = ( Rn,B(Rn)). Тогда случайный элемент называется n - мерным случайным вектором. Если - проекция Rn на -ую координату, то =, где . Ясно, что - обычные случайные величины. Действительно, для B(R1) R1,..,R1,R1R1}=
(R1R1R1R1)F.
Определение. Упорядоченый набор случайных величин будет называться - мерным случайным вектором.
В соответствии с этим определением всякий случайный элемент со значениями в Rn будет - мерным случайным вектором. Справедливо обратное утверждение: всякий n- мерный случайный вектор = есть случайный элемент в Rn. Действительно, если B(R1),, то F, то наименьшая -алгебра, порожденная всеми совпадает с B(Rn). поэтому для B(Rn) F.
3) Пусть (E, e) = (RТ,B(RТ)), Т – подмножество числовой прямой. В этом случае всякий случайный элемент представим в виде с называется случайной функцией с временным интервалом Т.
4.5. Определение. Пусть R1. Совокупность называется случайным процессом с временным интервалом Т. Если , то - называется случайным процессом с дискретным временем или случайной последовательностью. Если , то - называется случайным процессом с непрерывным временем.
Часть 10 - лекция, которая пользуется популярностью у тех, кто читал эту лекцию.
Определение. Пусть - случайный процесс. Для каждого функция - называется реализацией или траекторией процесса, соответствующего исходу .
Определение. Пусть - случайный процесс. Вероятностная мера Р на (RТ,B(RТ)) с PP,B(RТ) называется распределением вероятностей процесса Х.
Определение. Вероятностная мера PP, где B(Rn), , называется конечномерными распределениями вероятностей случайного процесса , а n-мерная функция распределения , где , называется конечномерными функциями распределения процесса .
4.6. Определение. Пусть (,F,P) - вероятностное пространство и набор (e) - измеримых пространств, где - произвольное множество. Будем говорить, что- измеримые функции независимы в совокупности, если для любого конечного набора элементы - независимы, т.е. для PP.
Теорема 12. Для того, чтобы случайные величины были независимы в совокупности, необходимо и достаточно, чтобы для любого Rn , где . Докажите самостоятельно.