Доказать первое достаточное условие экстремума функции

Доказать первое достаточное условие экстремума функции.

Пусть функция  определена и дифференцируема в окрестности точки С. Для того, чтобы точка С являлась точкой локального экстремума, достаточно чтобы при переходе значений аргумента через точку С производная функции меняла знак с “+” на “-” – локальный максимум, с “-” на “+” – локальный минимум.

Доказательство: Рассмотрим точку X из указанной окрестности, тогда:

1. на  - непрерывна.

2. на  - дифференцируема.

По т. Лагранжа , где , т.к. , то

на :  где ,