Доказать теорему Бернулли-Лопиталя для предела отношения двух бесконечно малых функций
2020-06-032021-03-09zzyxelСтудИзба
Доказать теорему Бернулли-Лопиталя для предела отношения двух бесконечно малых функций.
Теорема. Пусть ф-ции f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в , представляют собой б.м.ф. при , причем в . Если .
Доказательство: Рассмотрим {. Доопределим по непрерывности данные функции нулем в точке a (f(a)=0, g(a)=0). Тогда на [a, ] функции f(x) и g(x) непрерывны, на (a; ) f(x) и g(x) дифференцируемы. По теореме Коши при по условию теоремы >
Замечание 1: точка а может быть бесконечной, тогда или Формулировка: пусть f(x) b g(x) определены и дифференцируемы на и представл. Б.м.ф. при , причем Если
Замечание 2: если и удовлетворяют всем условиям Б-Л и , то и т. д.