Квадратичные формы в евклидовых пространствах. Закон инерции

Квадратичные формы в евклидовых пространствах. Закон инерции

Определение 1.28  Квадратичной формой в евклидовом пространстве  называется числовая функция  , определенная следующим образом:

,

где  - некоторый самосопряженный линейный оператор, действующий в .

Замечание. Мы излагаем этот раздел независимо от разделов 1.12 и 1.13. Читатель же, знакомый с этими разделами, легко поймет, что квадратичная форма есть частный случай симметрической билинейной формы, аргументы которой отождествляются.

Введем теперь в  какой-то базис , не обязательно ортонормированный. Поскольку, как легко показать,

,

где - матрица Грама базиса ,  то

.

Рекомендуемые материалы

Таким образом, при записи квадратичной формы в некотором базисе возникает матрица , называемая матрицей данной квадратичной формы в данном базисе. Эта матрица, как мы видим, равна матрице самосопряженного оператора, определяющего форму, в выбранном базисе, умноженной справа на матрицу Грама данного базиса. Заметим, что, хотя оператор и самосопряженный, его матрица в произвольном (не обязательно ортонормированном) базисе может и не быть симметрической, и поэтому, в общем случае, . Если же выбран ортонормированный базис, то , и , т.е., в ортонормированном базисе матрица квадратичной формы совпадает с матрицей определяющего форму самосопряженного линейного оператора.

По определению, однако, принимается, что матрица квадратичной формы в любом базисе является симметрической.

В самом деле, записав квадратичную форму в виде

всегда можно перейти к симметрической матрице , положив

.

Пусть теперь  - некий новый базис. Тогда

Следовательно, при переходе к новому базису матрица квадратичной формы преобразуется по закону:

.

Этот закон, названный в п. 1.13 тензорным законом преобразования, совпадает с законом преобразования матриц линейных операторов тогда и только тогда, когда матрица перехода ортогональна и . Таким образом, при переходе от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному же базису матрица квадратичной формы преобразуется точно так же, как и матрица определяющего ее самосопряженного оператора. В противном же случае (скажем, при переходе от ортонорма к базису, не являющемуся ортонормом) матрица квадратичной формы уже не будет в новом базисе совпадать с матрицей оператора).

Среди всех базисов, в которых может быть записана квадратичная форма, выделяются такие, в которых матрица формы оказывается диагональной. Если квадратичная форма задана в таком базисе, то говорят, что форма приведена к каноническому виду, а сам базис при этом называют каноническим базисом данной квадратичной формы. Это понятие ни  в коем случае не следует путать с понятием канонического базиса арифметического векторного пространства!

Более того, как показывает следующий простой пример, канонический базис совсем не обязан быть ортонормированным.

Рассмотрим такую квадратичную форму (для двумерного случая):

.

Преобразуем ее:

Введем новые переменные

Относительно этих новых переменных наша форма принимает канонический вид:

Соответствующая матрица перехода есть матрица, обратная к  и равная .

Если исходную форму считать заданной в ортонорме , то новый базис будет состоять из векторов:

.

Ясно, что канонический базис получился не ортонормированным.

Среди всех канонических базисов квадратичной формы выделяются те, в которых матрица формы принимает вид , где все отличные от нуля числа  равны по модулю единице.

Такой канонический базис называется нормальным, а сам вид квадратичной формы в таком базисе - нормальным видом.

Если квадратичная форма приведена к каноническому виду

,

то вводя новые переменные

придем к нормальному виду данной формы.

Поэтому без ограничения общности мы можем рассматривать приведение квадратичных форм к нормальному виду.

Определение 1.29  Сигнатурой квадратичной формы, заданной в нормальном виде, называется разница между числом положительных и отрицательных элементов ее матрицы (т.е., между числом положительных, равных «+1», коэффициентов в нормальном виде и числом отрицательных, равных «-1», коэффициентов). Число же всех ненулевых элементов матрицы в этом случае называется рангом квадратичной формы.

В рассмотренном выше примере сигнатура равна нулю, а ранг - двум.

Нетрудно видеть, что ранг квадратичной формы совпадает с рангом ее матрицы, независимо от  выбора любого (не только канонического) базиса. Значительно менее тривиальным фактом оказывается то, что сигнатура квадратичной формы сохраняется в любом каноническом базисе данной формы. Этот факт, известный под названием закона инерции для квадратичных форм, мы сейчас докажем.

Теорема 1.17 (Закон инерции) Сигнатура квадратичной формы не зависит от выбора ее канонического базиса.

Доказательство. Пусть  и - два разных канонических базиса квадратичной формы , причем в первом базисе форма  имеет вид

,

а во втором:

(- ранг формы ).

Мы должны доказать, что .

Рассмотрим две линейные оболочки:

и

.

По определению линейной оболочки (п. 1.3, опр. 1.4) каждый вектор из  имеет в базисе  нулевую координату с номером, большим , а каждый вектор  из  - нулевую координату с номером, меньшим (в базисе ). Это значит, что

а

,

причем равенство имеет место только для нулевого вектора.

Это значит, что

Рассмотрим теперь систему

,

состоящую из  векторов.

Докажем, что эта система линейно независима.

Предполагая противное, получим, что существует нетривиальная линейная комбинация

В этой комбинации по крайней мере один «штрихованный» и один «нештрихованный» коэффициент отличны от нуля, ибо иначе получится обращающаяся в нуль линейная комбинация векторов базиса.

Тогда имеем:

,

или

,

где все штрихованные и нештрихованные коэффициенты с двойными индексами отличны от нуля.

В последнем равенстве слева стоит ненулевой вектор из , а справа - из . Это значит, что существует ненулевой вектор, принадлежащий одновременно линейным оболочкам и , но мы только что доказали, что это невозможно.

Следовательно, построенная выше «смешанная» система линейно независима, и число векторов в ней не превышает размерности пространства:

,

или

.

Рассматривая теперь линейные оболочки  и  , построив «смешанную» систему , совершенно аналогично предыдущему докажем, что

,

т.е., что

.

Окончательно, , и теорема доказана.

Существует несколько различных методов приведения квадратичной формы к каноническому виду. Важнейшим из них является метод ортогональных преобразований, сводящийся, в сущности, к диагонализации определяющего форму самосопряженного оператора. Согласно этому методу, мы вычисляем спектр и собственные векторы оператора, и записываем форму в ортонорме из собственных векторов в виде

,

где - все отличные от нуля собственные числа.

Приведем таким методом к каноническому виду квадратичную форму, рассмотренную выше в примере.

Запишем ее матрицу в исходном базисе (каноническом базисе двумерного арифметического пространства):

Составим характеристическое уравнение:

Раскрывая определитель, получим:

Отсюда

Сразу можно написать канонический вид исходной формы:

Нормальный вид:

Найдем собственные векторы.

Для  имеем уравнение

Полагая , получим:

Общее решение системы будет иметь вид:

В качестве единичного вектора нового базиса имеем вектор

Рекомендация для Вас - 5 Условия труда на производстве.

При  имеем

Ортогональное преобразование, матрица которого состоит из столбцов , есть именно то преобразование, которое переводит исходный базис в канонический для данной квадратичной формы.

Еще один метод приведения квадратичной формы к каноническому виду, называемый методом Лагранжа, будет рассмотрен в следующем пункте.