Приложение К След матрицы

П.11. След матрицы

След матрицы A=А_nn является скалярной функцией и определяется суммой диагональных её элементов, то есть, след(A)=. Например, дана матрица

А=,

тогда

след(A)=8–3+9=14.

Некоторые свойства следа матрицы приведены в следующей теореме.

Теорема П.11.

1. Если матрицы А=А_nn и В=В_nn, то

след(A±B)=след(A)±след(B).                                  (П.11.1)

Рекомендуемые материалы

2. Если матрицы А=А_np и В=В_pn, то

след(AB)=след(BA).                                                (П.11.2)

Отметим, что здесь n может быть меньше, равно или больше p.

3. Если матрица А=А_np, то

след(A^ТА)=,                                                 (П.11.3)

где а_i - i-й столбец матрицы А.

4. Если А=А_np, то

след(AА^Т)=,                                                (П.11.4)

где а_ic- i-я строка матрицы А и а_i - i-й столбец матрицы А^Т.

5. Если А=А_np представляется элементами a_ij, то

след(A^ТА)=след(AА^Т)=.                           (П.11.5)

6. Если А=А_nn - любая матрица и B=B_nn - любая невырожденная матрица, то

след(B^–1AB)=след(A).                                              (П.11.6)

7. Если А=А_nn - любая матрица и M=M_nn - любая ортогональная матрица, то

след(M^ТAM)=след(A).                                             (П.11.7)

8. Если матрица А=А_nn ранга r и А^– - обобщённая обратная матрицы А, то

след(A^–A)=след(AA^–)=r.                                         (П.11.8)

Доказательство:

1. Матрица А+В имеет i-м диагональным элементом a_ii+b_ii. Следовательно след(А+В)==+=след(А)+след(В).

2. В силу (П.2.5), i-м диагональным элементом C=AB является c_ii=. Тогда

след(AB)=след(C)==.

Так же, i-м диагональным элементом F=BA является f_ii= и

след(BA)=след(F)====след(C)=след(AB).

3. По пункту 1 теоремы П.2.3, матрица A^ТA получается в результате произведений столбцов матрицы А. Если а_i - i-й столбец матрицы А, то i-м диагональным элементом матрицы A^ТA является результат произведения а_i^Та_i.

4. По пункту 2 теоремы П.2.3 i-м диагональным элементом АА^Т является а_iса_i, где а_iс - i-я строка матрицы А и а_i - i-й столбец матрицы А^Т.

5. По пункту 3 имеем след(A^ТA)==, где a_i^T=(a_i1, a_i2,…, a_ip).

6. В силу (П.11.2), получаем

след(B^–1AB)=след(ABB^–1)=след(A).

7. В силу (П.11.2), след(M^ТAM)=след(AMM^Т)=след(AI)=след(A)

8. Докажите в качестве упражнения.

□

В лекции "Массовая культура" также много полезной информации.

Пример П.11. Продемонстрируем пункты 2 и 8 теоремы П.11.

2. Пусть матрицы А= и В=. Тогда,

АВ=, ВА=, след(AB)=9–8+34=35 и след(BA)=3+32=35.

8. Используя А из (П.8.2) и A₁^– из (П.8.3), получаем

А^–А=, АА^–=, след(A^–A)=1+1+0=2=ранг(A) и

след(AA^–)=1+1+0=2=ранг(A).