Случайная выборка из распределённой нормально популяции
1.12. Случайная выборка из распределённой нормально популяции
Показанные на Рис.1.12.1 важные результаты основаны на допущении случайной выборки из исходной популяции, распределённой по нормальному закону, или равносильно, на допущении независимого и одинакового распределения по нормальному закону. Если случайная выборка n наблюдений производится из популяции, распределённой по нормальному закону со средним y и дисперсией s2, то:
1. Распределение усреднённых значений 
также нормальное со средним y и дисперсией s2/n.
2. Выборочная дисперсия s2 распределена независимо от усреднённых значений и имеет нормированное распределение c2 (хи-квадрат) с n =n–1 степенями свободы. Это распределение несимметричное и его свойства рассматриваются позднее.
Бесплатная лекция: "Образование государства Киевская Русь" также доступна.
3. Статистика (–y)/(s/
) имеет распределение t с n =n–1 степенями свободы.
Как показано на Рис.1.12.1, число элементов каждой выборки n=5, так что число степеней свободы n =4. Результат пункта 3 особенно поразителен, так как он позволяет судить о разности –y в отношении к оценке стандартного отклонения s/ получаемой на основе данных самой выборки. Поэтому в том случае, когда может быть сделано допущение случайной выборки из распределённой по нормальному закону популяции, то не нужно никаких дополнительных данных для получения необходимого распределения t для эталона.
Стандартное отклонение s/ усреднённого значения равно положительному квадратному корню из дисперсии усреднённого и часто называется стандартной ошибкой усреднённого. Также квадратный корень из дисперсии любой статистики, полученной на основе данных выборки наблюдений, обычно называется стандартной ошибкой этой статистики.
Рис.1.12.1. Случайные выборки из распределённой по нормальному закону популяции для получения выборочных распределений , s2 и t.
Если допущение случайной выборки из распределённой по нормальному закону популяции в точности удовлетворяется, то вся содержащаяся в выборке у1, у2, …, уn информация о параметрах y и s2 содержится в двух статистиках и s2. Поэтому эти статистики являются совместно достаточными оценками параметров y и s2.
