Линейные системы и матрицы

Глава 1. Линейные системы и матрицы.

§1.   n – мерное пространство  Rⁿ

Вещественные числа (СПб) = действительные числа (М).

x₁, x₂, …, x_n –  n-мерная точка  M( x₁, x₂, …, x_n ).

Расстояние между M( x₁, x₂, …, x_n ) и N( y₁, y₂, …, y_n )

Вектор                          

– радиус-вектор точки М.

Окрестность точки, ограниченное множество, замкнутое или открытое множество, предел последовательности   n-мерных точек. Скалярное произведение.

Рекомендуемые материалы

Геометрически R¹ – прямая,    R² – плоскость,    R³ – пространство.

Множество   наз. выпуклым, если

Свойство.  V₁, V₂ – выпуклы   выпукло.

§2.   Системы линейных уравнений.

                    x₁, x₂, …, x_n

                                           а₁x₁ +а₂x₂ +…+а_n x_n = b

                        k₁, k₂, …, k_n

                                              x₁ = k₁, x₂ = k₂,…, x_n = k_n

Матрица системы                                                       столбец правых частей

   размер  m x n                                     размер   m x 1

Расширенная матрица системы              размер   m x (n+1)

Элементарные преобразования строк матрицы:

1) смена местами двух строк

2) умножение элементов строки на число   

3) прибавление к элементам одной строки чисел, пропорциональных элементам другой строки

                     Преобразования обратимы.  Система переходит в равносильную.

Если получается строка расширенной матрицы, состоящая из нулей – ее вычеркивают.

§3.  Метод Гаусса.    Метод Жордана.

               

                                                                                   п р я м о й              х о д

                  

            о б р а т н ы й    х о д

Бывают системы, не имеющие решений (несовместные), имеющие ровно 1 решение (см. пример) и имеющие бесконечное число решений.

  несовместная                                                   имеет множество решений

§4.  Действия над матрицами.

1. Сложение матриц

С=А+В, когда c_ij = a_ij + b_ij.  Матрицы одного размера.

A+B=B+A,  ,   ,   (A+B)+C=A+(B+C)

2. Умножение матрицы на число

В=k^.А, когда b_ij = k^.a_ij  Получается матрица того же размера.

(km)A=k(mA),   1^.A=A,  0^.A=.              (k+m)A=kA+mA,   k(A+B)=kA+kB

3. Умножение матрицы на матрицу.

                               

                                      

Правило: «строка 1-й матрицы на столбец 2-й матрицы по формуле скалярного произведения». Число столбцов 1-й матрицы должно быть равно числу строк 2-й.

        А  ^.  В  =  С                                         

    mxn        nxp        mxp                                             скалярное произведение

Свойства.  1. (АВ)С=А(ВС)                 2.  E_m, E_n:  E_m.A = A,  A . E_n = A  (единичные)

3.                                          4. Если , то не обязательно   или 

5.   даже для квадратных матриц            6. А(В+С)=АВ+АС,  (А+В)С=АС+ВС

7. к(АВ)=(кА)В=А(кВ)

4. Транспонирование матриц – смена местами строк и столбцов.

Свойства. 1. (А^Т)^Т=А   2. (А+В)^Т=А^Т+В^Т    3.  (кА)^Т=кА^Т    4.  (А^.В)^Т=В^Т.А^Т

§5.  Обратная матрица.

                           А^.В=В^.А

Теорема. Пусть А,В,С – квадратные матрицы, причем А^.В = Е, С^.А = Е. Тогда В = С.

                                   В = Е^.В = (С^.А)^.В = С^.(А^.В) = С^.Е = С

Обратная матрица единственна и обозначается А^-1                    А^.А^-1 = А^{-1 .}А = Е

                                                       Матричная запись системы

                                                 А^.Х = В

Теорема. Если А – квадратная матрица, имеющая обратную А^-1,то линейная система  АХ=В   имеет единственное решение при любых правых частях ( любом векторе  В )          Х=А^{-1 .}В

Опр.  Если  , то система называется однородной.

Свойство. Однородная система всегда совместна, ее тривиальное решение  .

§6.  Балансовая модель.

 - валовая продукция,   - конечная продукция,   -  внутренние затраты, которые зависят от валовой продукции линейно:  z₁=a₁₁x₁+a₁₂x₂+…+a_1nx_n   и т.д.

Система уравнений материального баланса имеет вид

                   Х – АХ = У        балансовая модель Леонтьева

    - затраты продукции i-й отрасли на изготовление единицы валовой продукции j-й отрасли, коэффициенты прямых затрат – постоянные.

( Е – А )Х = У                                                    Продуктивная матрица:

                          Х = ( Е – А )^-1У = SУ,                 S – матрица полных затрат

§7.  Свойства определителей.

Определитель – число, характеризующее квадратную матрицу.

Для матрицы 1-го порядка определитель    

Система     сводится к 

Для матрицы 2-го порядка    определитель 

Для матрицы 3-го порядка      определитель       =

=  а₁₁^.а₂₂^.а₃₃ + а₁₂^.а₂₃^.а₃₁ + а₁₃^.а₂₁^.а₃₂ – а₁₃^.а₂₂^.а₃₁ – а₁₂^.а₂₁^.а₃₃ – а₁₁^.а₂₃^.а₃₂

Всевозможные  произведения  чисел  из  разных  строк  и  столбцов.

Если из матрицы вычеркнуть строки и столбцы так, что останется квадратная матрица, то ее определитель называется   минором.

 - минор, получающийся вычеркиванием i–й строки и j–го столбца квадратной матрицы

     - разложение определителя по 1-й строке.

Алгебраическое дополнение ( квадратной матрицы )        

detA = a₁₁ ^. A₁₁ + a₁₂ ^. A₁₂ + …+ a_1n ^. A_1n

Верно разложение по любой другой строке.

Свойства.   1. Независимость строк и столбцов   

2. det ( a₁  a₂ …a_i¹ + a_i² … a_n ) = det ( a₁  a₂ …a_i¹ … a_n ) +  det ( a₁  a₂ … a_i² … a_n )

3. det ( a₁  a₂ …c^.a_i … a_n ) = c^.det ( a₁  a₂ …a_i … a_n )

4. det ( a₁  a₂ …a_i …a_j … a_n ) = -  det ( a₁  a₂ …a_j … a_i … a_n )  - антисимметричность

Следствия.  1.  Если два столбца ( строки ) определителя совпадают, то он равен нулю.

2. Если два столбца ( строки ) определителя пропорциональны, то он равен нулю.

3. Определитель не меняется, если к элементам одного столбца ( строки ) прибавить числа, пропорциональные элементам другого столбца ( строки ).

Понижение порядка. Если в строке определителя все элементы, кроме одного, равны нулю, то при разложении по этой строке получается определитель меньшего ( на 1 )  порядка.

1.         2.          3.            4. 

Ранг матрицы – наивысший порядок минора, отличного от нуля.

      -   ранг находят методом Гаусса.

Если ранг матрицы системы линейных уравнений меньше ранга ее расширенной матрицы, то система несовместна.                

§8.  Формулы Крамера.

Теорема 1.

Теорема 2. 

Присоединенная (взаимная, союзная) матрица – из алгебраических дополнений транспонированная:

       

Вместе с этой лекцией читают "20 Обзор численных методов решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений".

a₁₁ ^. A₁₁+a₁₂ ^. A₁₂+ …+a_1n ^. A_1n = ,           a₂₁ ^. A₁₁+ a₂₂ ^. A₁₂+ …+ a_2n ^. A_1n =  = 0

Если  , то  ,   отсюда              -  формула вычисления А^-1, подставляем в формулу из §5     Х=А^{-1 .}В=

=b₁A₁₁ +b₂A₂₁+… b_nA_n1=        =b₁A₁₂ +b₂A₂₂ +…+b_nA_n2 = 

и т.д. – это числа из предыдущей матрицы.

  , то есть    ,     , …,     -   это и есть  формулы Крамера.